Question

如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且D點的橫坐標(biāo)是它的縱坐標(biāo)的2倍．
（1）求邊AB的長；
（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；
（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過D作DM⊥x軸，交x軸于點M，可得三角形ODH與三角形OBA相似，根據(jù)D點的橫坐標(biāo)是它的縱坐標(biāo)的2倍及E（4，n），求出AB的長即可；
（2）由D為OB的中點，以及B坐標(biāo)求出D坐標(biāo)，把D代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，把E坐標(biāo)代入反比例解析式求出n的值即可；
（3）由折疊的性質(zhì)得到三角形OGH與三角形FGH全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到OG=FG，由F在反比例圖象上，確定出F坐標(biāo)，進(jìn)而求出CF的長，在三角形CFG中，設(shè)OG=FG=x，可得CG=2-x，利用勾股定理求出x的值，即為OG的長．

解答：解：（1）過D作DM⊥x軸，交x軸于點M，
∵D點的橫坐標(biāo)是它的縱坐標(biāo)的2倍，即OM=2DM，
∴OA=2AB，
∵E（4，n），即OA=4，AE=n，
∴AB=2；
（2）∵D為OB中點，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y=

k

x

中，得1=

k

2

，即k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

，
把E（4，n）代入反比例解析式得：n=

2

4

=

1

2

；
（3）由F（1，2），得到CF=1，
由折疊得：△OGH≌△FGH，
∴OG=FG，
∵OC=AB=2，
設(shè)OG=FG=x，得到CG=2-x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG²=CG²+CF²，即x²=（2-x）²+1，
整理得：4x=5，
解得：x=

5

4

，
則OG=

5

4

．

點評：此題屬于反比例綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法確定反比例解析式，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．