Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，CD交AM，BN于點(diǎn)D，C，DO平分∠ADC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=4，BC=9，求OD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）過O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，根據(jù)切線的性質(zhì)由AM切⊙O于點(diǎn)A得OA⊥AD，再根據(jù)角平分線定理得到OE=OA，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）過D作DF⊥BC于F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥AD，AB⊥BC，則得到四邊形ABFD為矩形，得到BF=AD=4，所以CF=BC-BF=5，再利用切線長(zhǎng)定理得DA=DE=4，CE=CB=9，所以DC=AD+BC=13，在Rt△DCF中，利用勾股定理計(jì)算出DF=12，則AB=12，所以O(shè)A=6，然后在Rt△OAD中，利用勾股定理可計(jì)算出OD．

解答：（1）證明：過O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，如圖，
∵AM切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥AD，
∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，
∵OA為⊙O的半徑，
∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：過D作DF⊥BC于F，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴BF=AD=4，
∴CF=BC-BF=5，
∵DC、AM、BC為圓的切線，
∴DA=DE=4，CE=CB=9，
∴DC=AD+BC=13，
在Rt△DCF中，DF=

DC2-DF2

=12，
∴AB=12，
∴OA=6，
在Rt△OAD中，OD=

OA2+AD2

=

62+42

=2

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、勾股定理．