Question

如圖所示，在一塊底邊長為30厘米，高為20厘米的三角形鐵片上剪下一塊最大面積的內接矩形，并使它的一邊在底邊上．如何設計才能使矩形面積最大，并且求出最大面積．

Answer 1

考點：相似三角形的應用,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：作CK⊥AB于點K交GF于點H，得到△CGF∽△CAB，從而利用相似三角形的對應邊的比相等得到比例式表示出矩形的長和寬，從而列出有關x的二次函數(shù)求得最值即可．

解答：解：如圖：作CK⊥AB于點K交GF于點H，
∵四邊形GFED為矩形，
∴GF∥AD，
∴△CGF∽△CAB，
∴CH：CK=GF：AB，
由題意得：AB=30cm，CK=20cm，
設GD=x厘米，
則HK=xcm，CH=20-xcm，
∴20-x：20=GF：30，
∴GF=

3

2

（20-x），
∴矩形GFED的面積=x×

3

2

（20-x）=-

3

2

x²+30x=-

3

2

（x-10）²+150，
∴GF=

3

2

（20-x）=15cm，
∴矩形的長為15，寬為10cm時面積最大，為150cm²．

點評：此題主要考查了相似三角形的應用及二次函數(shù)的最值，根據(jù)題意得出△AFG∽△ABC是解題關鍵．