Question

如圖1，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．

（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）在圖1中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．

 

 

Answer 1

（1）EF=BE+DF見解析 （2）AM=AB見解析 （3）AM=AB見解析

【解析】（1）EF=BE+DF，

證明：如答圖1，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，

在△ADF和△ABQ中

∴△ADF≌△ABQ（SAS），

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，

∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°，

∴∠BAE+∠BAQ=45°，

即∠EAQ=∠FAE，

在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，

∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF．

（2）【解析】
AM=AB，

理由是：∵△EAQ≌△EAF，

∴×EQ×AB=×FE×AM，

又∵EF=EQ，

∴AM=AB．

（3）AM=AB，

證明：如答圖2，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵折疊后B和D重合，

∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，

在△ADF和△ABQ中，

∴△ADF≌△ABQ（SAS），

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，

∵∠FAE=∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，

即∠EAQ=∠FAE，

在△EAQ和△EAF中，

∴△EAQ≌△EAF（SAS），

∴EF=EQ，

∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，

∴×EQ×AB=×FE×AM，

∴AM=AB．

（1）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)四邊形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，證△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可；

（2）根據(jù)△EAQ≌△EAF，EF=BQ得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；

（3）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)折疊和已知得出AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，證明EAQ≌△EAF，推出EF=EQ即可．