Question

如圖，在Rt△AOB中，∠O=90°，OA=1，OB=3；動點D從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，當動點D到某一位置時，過點D作OA的垂線交線段AB于點N，設運動的時間為t秒，試問△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：勾股定理,一元二次方程的應用,等腰三角形的判定

專題：動點型

分析：△AON為等腰三角形時，可能存在三種情形：（I）若ON=AN，（II）若ON=OA，（III）若OA=AN，需要分類討論，逐一計算．

解答：解：∵在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，
∴tanA=3．
若△AON為等腰三角形，有三種情況：
（I）若ON=AN，如答圖1所示：
則Q為OA中點，OQ=

1

2

OA=

1

2

，
∴t=

1

2

；
（II）若ON=OA，如答圖2所示：
設AQ=x，則NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA-AQ=1-x，
在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ²+NQ²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=

1

5

，x₂=0（舍去），
∴x=

1

5

，OQ=1-x=

4

5

，
∴t=

4

5

；
（III）若OA=AN，如答圖3所示：
設AQ=x，則NQ=AQ•tanA=3x，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ²+AQ²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，解得x₁=

10

10

，x₂=-

10

10

（舍去），
∴OQ=1-x=1-

10

10

，
∴t=1-

10

10

．
綜上所述，當t為

1

2

秒、

4

5

秒、（1-

10

10

）秒時，△AON為等腰三角形．

點評：本題考查了勾股定理、解一元二次方程、等腰三角形的性質等知識點，綜合性比較強，有一定的難度．本題為運動型與存在型的綜合性問題，注意要弄清動點的運動過程，進行分類討論計算．