Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，連接DE交AC于點F．

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

（3）在（2）的條件下，若AB=AC=2，求正方形ADCE周長．

Answer 1

 

考點： 正方形的判定與性質；矩形的判定． 

分析： （1）根據等腰三角形的性質，可得∠CAD=∠BAC，根據等式的性質，可得∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°，根據垂線的定義，可得∠ADC=∠CEA，根據矩形的判定，可得答案；

（2）根據等腰直角三角形的性質，可得AD與CD的關系，根據正方形的判定，可得答案；

（3）根據勾股定理，可得AD的長，根據正方形周長公式，可得答案．

解答： （1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，

∴∠CAD=∠BAC．

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，

∴∠CAE=∠CAM．

∵∠BAC與∠CAM是鄰補角，

∴∠BAC+∠CAM=180°，

∴∠CAD+∠CAE=（∠BAC+∠CAM）=90°．

∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四邊形ADCE為矩形；

（2）∠BAC=90°且AB=AC時，四邊形ADCE是一個正方形，

證明：∵∠BAC=90°且AB=AC，AD⊥BC，

∴∠CAD=∠BAC=45，∠ADC=90°，

∴∠ACD=∠CAD=45°，

∴AD=CD．

∵四邊形ADCE為矩形，

∴四邊形ADCE為正方形；

（3）解：由勾股定理，得

=AB，AD=CD，

即AD=2，

AD=2，

正方形ADCE周長4AD=4×2=8．

點評： 本題考查了的正方形的判定與性質，（1）利用了等腰三角形的性質，矩形的判定；（2）利用了正方形的判定；（3）利用了勾股定理，正方形的周長．