【題目】如圖,在等邊△ABC中,線段AM為BC邊上的中線.動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí),以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE,連結(jié)BE.
(1)填空:∠CAM=__________度;
(2)若點(diǎn)D在線段AM上時(shí),求證:△ADC≌△BEC;
(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí),設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O,試判斷∠AOB是否為定值?并說(shuō)明理由.

【答案】30;

【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD,根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC;
(3)分情況討論:當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí),如圖1,由(2)可知△ACD≌△BCE,就可以求出結(jié)論;當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出結(jié)論;當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,通過(guò)得出△ACD≌△BCE同樣可以得出結(jié)論.

解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=60°.
∵線段AM為BC邊上的中線
∴∠CAM=∠BAC,
∴∠CAM=30°.
故答案為:30;
(2)∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°,
理由如下:
①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí),如圖1,

由(2)可知△ACD≌△BCE,則∠CBE=∠CAD=30°,
又∠ABC=60°
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°,
∵△ABC是等邊三角形,線段AM為BC邊上的中線
∴AM平分∠BAC,即∠BAM=∠BAC=×60°=30°
∴∠BOA=90°-30°=60°.
②當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,


∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,

∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD=30°,
同理可得:∠BAM=30°,
∴∠BOA=90°-30°=60°.
③當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,


∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,

∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD
同理可得:∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30°,∠BAM=30°,
∴∠BOA=90°-30°=60°.
綜上,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí),∠AOB是定值,∠AOB=60°.

“點(diǎn)睛”邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,等式的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

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