【題目】如圖,在等邊△ABC中,線段AM為BC邊上的中線.動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí),以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE,連結(jié)BE.
(1)填空:∠CAM=__________度;
(2)若點(diǎn)D在線段AM上時(shí),求證:△ADC≌△BEC;
(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí),設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O,試判斷∠AOB是否為定值?并說(shuō)明理由.
【答案】30;
【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD,根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC;
(3)分情況討論:當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí),如圖1,由(2)可知△ACD≌△BCE,就可以求出結(jié)論;當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出結(jié)論;當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,通過(guò)得出△ACD≌△BCE同樣可以得出結(jié)論.
解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=60°.
∵線段AM為BC邊上的中線
∴∠CAM=∠BAC,
∴∠CAM=30°.
故答案為:30;
(2)∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°,
理由如下:
①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí),如圖1,
由(2)可知△ACD≌△BCE,則∠CBE=∠CAD=30°,
又∠ABC=60°
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°,
∵△ABC是等邊三角形,線段AM為BC邊上的中線
∴AM平分∠BAC,即∠BAM=∠BAC=×60°=30°
∴∠BOA=90°-30°=60°.
②當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD=30°,
同理可得:∠BAM=30°,
∴∠BOA=90°-30°=60°.
③當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD
同理可得:∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30°,∠BAM=30°,
∴∠BOA=90°-30°=60°.
綜上,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí),∠AOB是定值,∠AOB=60°.
“點(diǎn)睛”邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,等式的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.
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【題目】下列數(shù)據(jù)85,88,73,88,79,85的眾數(shù)是( )
A.88
B.73
C. 88,85
D.85
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).
(1)△ABC的面積為__________;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形△A′B′C′.
(3)利用網(wǎng)格紙,在MN上找一點(diǎn)P,使得PB+PC的距離最短.( 保留痕跡)
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【題目】動(dòng)點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)B也從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),3秒后,兩點(diǎn)相距15個(gè)單位長(zhǎng)度.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B的速度比是1:4.(速度單位:?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度/秒)
(1)求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度;
(2)若A、B兩點(diǎn)從(1)中的位置同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),幾秒后原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)正中間;
(3)在(2)中A、B兩點(diǎn)繼續(xù)同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí),另一動(dòng)點(diǎn)C同時(shí)從B點(diǎn)位置出發(fā)向A運(yùn)動(dòng),當(dāng)遇到A后,立即返回向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),遇到B點(diǎn)后立即返回向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),如此往返,直到B追上A時(shí),C立即停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)C一直以20單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)C從開(kāi)始到停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的路程是多少單位長(zhǎng)度.
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A. 4個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 1個(gè)
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