【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長(zhǎng);
(2)從出發(fā)幾秒鐘后,△PQB第一次能形成等腰三角形?
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

【答案】
(1)解:BQ=2×2=4cm,

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm,

∵∠B=90°,

PQ= = = =2


(2)解:BQ=2t,

BP=8﹣t

2t=8﹣t,

解得:t=


(3)解:①當(dāng)CQ=BQ時(shí)(圖1),則∠C=∠CBQ,

∵∠ABC=90°,

∴∠CBQ+∠ABQ=90°,

∠A+∠C=90°,

∴∠A=∠ABQ,

∴BQ=AQ,

∴CQ=AQ=5,

∴BC+CQ=11,

∴t=11÷2=5.5秒.

②當(dāng)CQ=BC時(shí)(如圖2),則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒.

③當(dāng)BC=BQ時(shí)(如圖3),過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E,

則BE= = ,

所以CE=

故CQ=2CE=7.2,

所以BC+CQ=13.2,

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知,當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí),

△BCQ為等腰三角形.


【解析】(1)根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可;(2)設(shè)出發(fā)t秒鐘后,△PQB能形成等腰三角形,則BP=BQ,由BQ=2t,BP=8﹣t,列式求得t即可;(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況:①當(dāng)CQ=BQ時(shí)(圖1),則∠C=∠CBQ,可證明∠A=∠ABQ,則BQ=AQ,則CQ=AQ,從而求得t;②當(dāng)CQ=BC時(shí)(如圖2),則BC+CQ=12,易求得t;③當(dāng)BC=BQ時(shí)(如圖3),過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E,則求出BE,CE,即可得出t.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點(diǎn)B作射線BB1∥AC.動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)D作DH⊥AB于H,過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點(diǎn),連接DG.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時(shí),AD=AB,并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度;

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1如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù),求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有Fm=1.

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