【題目】已知拋物線頂點坐標為(2,﹣4),且與x軸交于原點和點C,對稱軸與x軸交點為M

1)求拋物線的解析式;

2A點在拋物線上,且A點的橫坐標為﹣2,在拋物線對稱軸上找一點B,使得ABCB的差最大,求B點的坐標;

3P點在拋物線的對稱軸上,且P點的縱坐標為8.探究:在拋物線上是否存在點Q使得OM、PQ四點共圓,若存在求出Q點坐標;若不存在請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為yx24x;(2)點B2,﹣12);(3Q5,5)或(,)或(,).

【解析】

1)根據(jù)頂點設(shè)出頂點坐標,再將原點的坐標代入即可得出答案;

2)先求出A的坐標,根據(jù)三角形邊的性質(zhì)得出點O,A的直線與拋物線的對稱軸的交點為點B,寫出OA的解析式,即可得出答案;

3)根據(jù)題意求出點P的坐標,根據(jù)四點共圓得出點QRtOMP外接圓上并設(shè)出Q的坐標,結(jié)合函數(shù)解析式以及點QOP的中點的距離列出方程組,解方程組,即可得出答案.

解:(1)∵拋物線頂點坐標為(2,﹣4),

∴設(shè)拋物線的解析式為yax224,

∵拋物線過原點,

0a0224,

a1,

∴拋物線的解析式為y=(x224x24x;

2)由(1)知,拋物線的解析式為yx24x,

y0,則x24x0,

x0x4

C4,0),

A點的橫坐標為﹣2,

y4(﹣2)=12

A(﹣2,12),

而拋物線的對稱軸為x2,

∴點C40)關(guān)于拋物線的對稱軸x2的對稱點為O0,0),

則過點O,A的直線與拋物線的對稱軸的交點為點B,理由是三角形三邊關(guān)系定理之兩邊之差小于第三邊,

A(﹣212),

∴直線OA的解析式為y=﹣6x,

x2時,y=﹣12,

∴點B2,﹣12);

3)由(2)知,拋物線的對稱軸為直線x2,

P2,8),

∵拋物線的對稱軸與x軸交點為M

M2,0),

∴∠OMP90°,

∵點O、MP、Q四點共圓,則點QRtOMP外接圓上,

∴點QOP的中點的距離等于半徑OP,而OP的中點坐標為(14),

由(1)知,拋物線的解析式為yx24x,設(shè)Q坐標為(mn),則m24mn①,

∴(m12+n4217②,

m22m+n28n0,

m22m+m24m28m24m)=m22m+m2m428mm4

m[m2+mm428m4]m[m5+m5)(m42+5m428m5+38]

m{m5+m5)(m42+5[m52+2m5+1]8m5)﹣5}

m[m5+m5)(m42+5m52+10m5)﹣8m5]

mm5[1+m42+5m5+2]

mm5)(m23m6

mm5)(m23m6)=0,

m0(舍)或m5m23m60

m5m,

Q5,5)或(,)或(,).

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A.B.

C.D.

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