Question

如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點P，連接AP．
（1）求證：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）過點C作CE⊥AP，E是垂足，并延長CE交BM于點D．求證：CE=ED．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出PQ=PS=PT，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)ASA求出△AED≌△AEC即可．

解答：證明：（1）
過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如圖，
∵在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED和△AEC中

∠DAE=∠CAE AE=AE ∠DEA=∠CEA

∴△AED≌△AEC，
∴CE=ED．

點評：本題考查了角平分線性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線并進一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．