Question

如圖，直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，過(guò)B作BC⊥x軸子點(diǎn)C，且tan∠ACO=

1

2

．
（1）求k的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線y=x+1于點(diǎn)Q，連接AP，AQ，若△APQ的面積S=2．求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)D（1，a）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)M使得BM+DM最��？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及BM+DM的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）首先求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義求得OC的長(zhǎng)，然后證明△BEC是等腰直角三角形，即可求得B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得k的值；
（2）設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，則縱坐標(biāo)是

6

x

，Q的坐標(biāo)是（x，x+1），然后分x＜2和x＞2兩種情況即可求得PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式列方程求得x的值，進(jìn)而求得Q的坐標(biāo)；
（3）求得D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線D'B的解析式，求出直線與y軸的交點(diǎn)即可．D'B的長(zhǎng)就是及BM+DM的最小值．

解答：解：（1）在y=x+1中，令x=0，解得：y=1，則A的坐標(biāo)是（0，1），令y=0，解得：x=-1，則E的坐標(biāo)是（-1，0）．
則OA=OE，即△OAE是等腰直角三角形．
∵tan∠ACO=

1

2

，即

OA

OC

=

1

2

，
∴OC=2，即C的坐標(biāo)是（2，0），EC=3．
∵BC⊥x軸，
∴△OAE∽△BEC．
∴△BEC是等腰直角三角形．
∴BC=OE=3，
∴B的坐標(biāo)是（2，3）．
代入y=

k

x

得：k=6；
（2）設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，則縱坐標(biāo)是

6

x

，
在y=x+1，Q的坐標(biāo)是（x，x+1）．
則當(dāng)x＜2時(shí)，PQ=

6

x

-x-1，根據(jù)題意得：

1

2

x（

6

x

-x-1）=2，
解得：x=1或-2（舍去）．
則Q的坐標(biāo)是（1，2）；
當(dāng)x＞2時(shí)，PQ=x+1-

6

x

，根據(jù)題意得：

1

2

x（x+1-

6

x

）=2，
解得：x=

-1- 41

2

（舍去）或

-1+ 41

2

．
則Q的坐標(biāo)是（

-1+ 41

2

，

1+ 41

2

）；
（3）在y=

6

x

中，當(dāng)x=1時(shí)，y=6，則D的坐標(biāo)是（1，6）．
D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'坐標(biāo)是（-1，6）．
設(shè)D'B的解析式是：y=kx+b，
根據(jù)題意得：

-k+b=6 2k+b=3

，
解得：

k=-1 b=5

，
則直線的解析式是y=-x+5．
令x=0，解得y=5，
則M的坐標(biāo)是（0，5）．
∵D'B=

(-1-2)2+(6-3)2

=3

2

．
∴BM+DM最小值=D'B=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用x表示出PQ的長(zhǎng)是關(guān)鍵．