Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA，且OB=2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是
（-1，2）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式；
（3）①連結(jié)AB，則AB與x軸的位置關(guān)系是

 

；②在（2）中的拋物線上求出點(diǎn)P，使得S_△ABP=S_△ABO；
（4）點(diǎn)E為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)EF∥y軸，交x軸于點(diǎn)H，交拋物線于點(diǎn)F，EF是否有最大值？如有直接出點(diǎn)E的坐標(biāo)及最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則∠OAM=∠OBN，證明△OAM∽△BON，可得ON，BN的值，繼而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求解過點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式；
（3）①根據(jù)A、B的縱坐標(biāo)相等，可判斷AB與x軸平行；②要使S_△ABP=S_△ABO，需要滿足點(diǎn)P到AB的距離等于點(diǎn)O到AB的距離，得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（4）先求出OB的解析式，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，則可表示出點(diǎn)E、點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，表示出EF的長，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，
則∠OAM=∠BON（都是∠AOM的余角），
∴△OAM∽△BON，
又∵∠AMO=∠ONB=90°，
∴△OAM∽△BON，
∴

AM

ON

=

OM

BN

=

AO

OB

=

1

2

，
∴ON=2AM=4，BN=2OM=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）；

（2）設(shè)過點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bx，
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入可得：

a-b=2 16a+4b=2

，
解得：

a= 1 2 b= 3 2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x；

（3）①∵AM=BN，
∴AB與x軸平行；
②∵S_△ABP=S_△ABO，
∴點(diǎn)P到AB的距離等于點(diǎn)O到AB的距離，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0或4，
①當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，0）；
②當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4時(shí)，

1

2

x²-

3

2

x=4，
解得：x₁=

3+ 41

2

，x₂=

3- 41

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3+ 41

2

，4）或（

3- 41

2

，4）．
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，0），（

3+ 41

2

，4），（

3- 41

2

，4）時(shí)，使得S_△ABP=S_△ABO；

（4）設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：2=4k，
解得：k=

1

2

，
∴OB的解析式為y=

1

2

x，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，

1

2

x），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，

4

3

x²-

2

3

x），
則EF=

1

2

x-（

4

3

x²-

2

3

x）=-

4

3

x²+

8

3

x=-

4

3

（x-1）²+

4

3

，
∴當(dāng)x=1時(shí)，EF取得最大值，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)及配方法求二次函數(shù)的最值，綜合考察的知識點(diǎn)較多，解答此類題目的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的綜合運(yùn)用，將所學(xué)知識融會貫通．