Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC，BC交于y軸于點(diǎn)C（0，3），兩直線AC，BC分別交軸于A，B兩點(diǎn)（OA＜OB），且OA，OB的長分別是一元二次方程4x²-25x+36=0的兩個根．

（1）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
（2）點(diǎn)M是線段AB間的一點(diǎn)，過M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，過Q點(diǎn)作垂線交AB于點(diǎn)P，若△PMQ的周長為

27

4

，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，0）時，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)N，使△BCN為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)解一元二次方程，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案；
（2）根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠OQP=∠B，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可得△MQP∽△BOC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PQ的長，再根據(jù)平行于三角形的一邊與其它兩邊相交得到的三角形相似，可得△BPQ∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得BP的長，再根據(jù)線段的和差，可得OP的長；
（3）根據(jù)勾股定理，可得直角三角形三邊的關(guān)系：分類討論：當(dāng)BN²+CN²=BC²時，當(dāng)BC²+CN²=BN²時，當(dāng)BC²+BN²=CN²時，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）相似，理由如下：
4x²-25x+36=0，
解得x₁=4，x₂=

9

4

，
OA＜OB，得A（-

9

4

，0），B（4，0），即OA=

9

4

，OB=4．
∵OC=3，
∴

OA

OC

=

9 4

3

=

3

4

，

OC

OB

=

3

4

，

OA

OC

=

OC

OB

，∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB；
（2）由MQ⊥BC于Q，得∠OQB=90°，
Q點(diǎn)作垂線交AB于點(diǎn)P，得∠QPO=90°，
∠OQP=∠B，∠QPO=∠OQB，
∴△MQP∽△BOC，
∴

C△MCP

C△AOC

=

PQ

OB

，

27 4

3+4+5

=

PQ

4

，
解得PQ=

9

4

，
PQ∥OC，
∴△BPQ∽△BOC，
∴

BP

OB

=

9 4

3

 即

BP

4

=

9 4

3

，解得BP=3，
OP=OB-BP=4-3=1，
即P（1，0）；
（3）設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，b），
①當(dāng)BN²+CN²=BC²時，[（4-2）²+b²]+[2²+（3-b）²]=3²+4²，
化簡，得b²-3b-4=0，解得b₁=4，b₂=-1，
即N₁（2，4），N₂（2，-1），
②當(dāng)BC²+CN²=BN²時，[2²+（3-b）²]+（3²+4²）=（4-2）²+b²，
化簡，得6b=34解得b=

17

3

，即N₃（2，

17

3

），
③當(dāng)BC²+BN²=CN²時，（3²+4²）+[（4-2）²+b²]=2²+（3-b）²，
化簡，得-6b=16，解得b=-

8

3

，即N₄（2，-

8

3

），

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，（2）利用了兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，相似三角形周長的比等于相似比，平行線截三角形的兩邊所得的三角形與原三角形相似，（3）利用了勾股定理得出方程是解題關(guān)鍵，注意要分類討論，以防遺漏．