Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC繞著它的斜邊中點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△DEF的位置，DF交BC于點H．△ABC與△DEF重疊部分的面積為

 

cm²．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：如圖，由點P為斜邊BC的中點得到PC=

1

2

BC=6，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△PFH中計算出PH=

3

3

PF=2

3

；在Rt△CPM中計算出PM=

3

3

PC=2

3

，且∠PMC=60°，則∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，F(xiàn)M=PF-PM=6-2

3

，則在Rt△FMN中可計算出MN=

1

2

FM=3-

3

，F(xiàn)N=

3

MN=3

3

-3，然后根據(jù)三角形面積公式和利用△ABC與△DEF重疊部分的面積=S_△FPH-S_△FMN進行計算即可．

解答：解：如圖，
∵點P為斜邊BC的中點，
∴PB=PC=

1

2

BC=6，
∵△ABC繞著它的斜邊中點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△DEF的位置，
∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，
在Rt△PFH中，∵∠F=30°，
∴PH=

3

3

PF=

3

3

×6=2

3

，
在Rt△CPM中，∵∠C=30°，
∴PM=

3

3

PC=

3

3

×6=2

3

，∠PMC=60°，
∴∠FMN=∠PMC=60°，
∴∠FNM=90°，
而FM=PF-PM=6-2

3

，
在Rt△FMN中，∵∠F=30°，
∴MN=

1

2

FM=3-

3

，
∴FN=

3

MN=3

3

-3，
∴△ABC與△DEF重疊部分的面積=S_△FPH-S_△FMN
=

1

2

×6×2

3

-

1

2

（3-

3

）（3

3

-3）
=9（cm²）．
故答案為9．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系．