【題目】問題提出:求n個相同的長方體(相鄰面的面積不相同)擺放成一個大長方體的表面積.
問題探究:探究一:
為了研究這個問題,同學(xué)們建立了如下的空間直角坐標(biāo)系:空間任意選定一點O,以點O為端點,作三條互相垂直的射線ox、oy、oz.這三條互相垂直的射線分別稱作x軸、y軸、z軸,統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸,它們的方向分別為ox(水平向前)、oy(水平向右)、oz(豎直向上)方向.
將相鄰三個面的面積記為S1、S2、S3,且S1<S2<S3的小長方體稱為單位長方體,現(xiàn)將若干個單位長方體在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)進行碼放,要求碼放時將單位長方體S1所在的面與x軸垂直,S2所在的面與y軸垂直,S3所在的面與z軸垂直,如圖1所示.
若將x軸方向表示的量稱為幾何體碼放的排數(shù),y軸方向表示的量稱為幾何體碼放的列數(shù),z軸方向表示的量稱為幾何體碼放的層數(shù);如圖2是由若干個單位長方體在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)碼放的一個幾何體,其中這個幾何體共碼放了1排2列6層,用有序數(shù)組記作(1,2,6),如圖3的幾何體碼放了2排3列4層,用有序數(shù)組記作(2,3,4).這樣我們就可用每一個有序數(shù)組(x,y,z)表示一種幾何體的碼放方式.
問題一:如圖4是由若干個單位長方體碼放的一個幾何體的三視圖,則這種碼放方式的有序數(shù)組為______.
組成這個幾何體的單位長方體的個數(shù)為______個.
探究二:
為了探究有序數(shù)組(x,y,z)的幾何體的表面積公式S(x,y,z),同學(xué)們針對若干個單位長方體進行碼
放,制作了下列表格
幾何體 有序數(shù)組 | 單位長方體的個數(shù) | 表面上面積為S1的個數(shù) | 表面上面積為S2的個數(shù) | 表面上面積為S3的個數(shù) | 表面積 |
(1,1,1) | 1 | 2 | 2 | 2 | 2S1+2S2+2S3 |
(1,2,1) | 2 | 4 | 2 | 4 | 4S1+2S2+4S3 |
(3,1,1) | 3 | 2 | 6 | 6 | 2S1+6S2+6S3 |
(2,1,2) | 4 | 4 | 8 | 4 | 4S1+8S2+4S3 |
(1,5,1) | 5 | 10 | 2 | 10 | 10S1+2S2+10S3 |
(1,2,3) | 6 | ||||
…… | …… | …… | …… | …… | …… |
問題二:請將上面表格補充完整:當(dāng)單位長方體的個數(shù)是6時,表面上面積為S1的個數(shù)是______.
表面上面積為S2的個數(shù)是______;表面上面積為S3的個數(shù)是______;表面積為______.
問題三:根據(jù)以上規(guī)律,請寫出有序數(shù)組(x,y,z)的幾何體表面積計算公式S(x,y,z)=______(用x、y、z、S1、S2、S3表示)
探究三:
同學(xué)們研究了當(dāng)S1=2,S2=3,S3=4時,用3個單位長方體碼放的幾何體中,有三種碼放的方法,有序數(shù)組分別為(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1).而S(1,1,3)=38,S(1,3,1)=42,S(3,1,1)=46.容易發(fā)現(xiàn)個數(shù)相同的長方體,由于碼放的方法不同,組成的幾何體的表面積就不同.
拓展應(yīng)用:
要將由20個相同的長方體碼放的幾何體進行打包,其中每個長方體的長是8,寬是5,高是6.為了節(jié)約外包裝材料,請直接寫出使幾何體表面積最小的有序數(shù)組,并寫出這個最小面積(不需要寫解答過程).(縫隙不計)
【答案】(1)(1,2,3),6;(2)12,6,4,12S1+6S2+4S3;(3)2yzS1+2xzS2+2xyS3;拓展應(yīng)用:幾何體表面積最小的有序數(shù)組為(2,2,5),最小面積為S(2,2,5)=1786.
【解析】
(1)根據(jù)題中所給的標(biāo)示法和圖4中主視圖知,擺放的長方體共有兩列三層,由左視圖知長方體共一排,則這種碼放方式的有序數(shù)組為(1,2,3);組成這個幾何體的單位長方體的個數(shù)為6個;
(2)幾何體有序數(shù)組(1,2,3)時,表示幾何體碼放了1排2列3層,單位長方體的個數(shù)為6個,表面上面積為S1的個數(shù)為12個,表面上面積為S2的個數(shù)6個,表面上面積為S3的個數(shù)4個,表面積為:12S1+6S2+4S3;
(3)根據(jù)題意可知當(dāng)有序數(shù)組(x,y,z)時,根據(jù)長方體的面積公式知,表面上面積為S1的個數(shù)為2yz個,表面上面積為S2的個數(shù)2xz個,表面上面積為S3的個數(shù)2xy個,該幾何體表面積計算公式S(x,y,z)=2yzS1+2xzS2+2xyS3
(4)拓展應(yīng)用:由題目中所給出的S1=2,S2=3,S3=4時,S(x,y,z)=2(yzS1+xzS2+xyS3)=2(2yz+3xz+4xy),分析出要使S(x,y,z)的值最小,應(yīng)滿足x≤y≤z(x、y、z為正整數(shù)),然后按條件將20分為:20=1×1×20、20=1×2×10、20=1×4×5、20=2×2×5四種形式,從面得出S(2,2,5)的值最小值為1786.
解:(1)根據(jù)如圖4中主視圖知,擺放的長方體共有兩列三層,由左視圖知長方體共一排,根據(jù)題中所給的標(biāo)示法,則這種碼放方式的有序數(shù)組為(1,2,3);
組成這個幾何體的單位長方體的個數(shù)為1×2×3=6(個)
故答案 (1,2,3),6
(2)由題意知,當(dāng)幾何體有序數(shù)組(1,2,3)時,表示幾何體碼放了1排2列3層,單位長方體的個數(shù)為6個
∴表面上面積為S1的個數(shù)為12個,表面上面積為S2的個數(shù)6個,表面上面積為S3的個數(shù)4個,表面積為:12S1+6S2+4S3
故答案為:12,6,4,12S1+6S2+4S3;
(3)當(dāng)有序數(shù)組(x,y,z)時,
表面上面積為S1的個數(shù)為2yz個,表面上面積為S2的個數(shù)2xz個,表面上面積為S3的個數(shù)2xy個,
∴該幾何體表面積計算公式S(x,y,z)=2yzS1+2xzS2+2xyS3
故答案2yzS1+2xzS2+2xyS3
拓展應(yīng)用:
當(dāng)S1=2,S2=3,S3=4時,S(x,y,z)=2(yzS1+xzS2+xyS3)=2(2yz+3xz+4xy)
要使S(x,y,z)的值最小,不難看出x,y,z應(yīng)滿足x≤y≤z(x、y、z為正整數(shù))
∵將相鄰三個面的面積記為S1、S2、S3,且S1<S2<S3,其中每個長方體的長是8,寬是5,高是6
∴S1=30,S2=40,S3=48
∴滿足要求的組合有(1,1,20),(1,2,10),(1,4,5),(2,2,5)
∵S(1,1,20)=2×30×20+2×40×20+2×48=2896
S(1,2,10)=2×30×2×10+2×40×10+2×48×2=2192
S(1,4,5)=2×30×4×5+2×40×5+2×48×4=1984
S(2,2,5)=2×30×2×5+2×40×2×5+2×48×4=1786
∴S(2,2,5)的值最小
∴幾何體表面積最小的有序數(shù)組為(2,2,5),最小面積為S(2,2,5)=1786.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩位同學(xué)在足球場上游戲,兩人的運動路線如圖1所示,其中AC=DB,小王從點A出發(fā)沿線段AB運動到點B,小林從點C出發(fā),以相同的速度沿⊙O逆時針運動一周回到點C,兩人同時開始運動,直到都停止運動時游戲結(jié)束,其間他們與點C的距離y與時間x(單位:秒)的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示,結(jié)合圖象分析,下列說法正確的是( )
A. 小王的運動路程比小林的長
B. 兩人分別在秒和秒的時刻相遇
C. 當(dāng)小王運動到點D的時候,小林已經(jīng)過了點D
D. 在秒時,兩人的距離正好等于的半徑
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.點D是AB的中點,連結(jié)CD,過點B作BG⊥CD,分別交CD、CA于點E、F,與過點A且垂直于AB的直線相交于點G,連結(jié)DF.給出以下四個結(jié)論:①;②點F是GE的中點;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正確的結(jié)論序號是( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】廚師將一定質(zhì)量的面團做成粗細一致的拉面時,面條的總長度y(m)與面條橫截面積x(mm2)之間成反比例函數(shù)關(guān)系.其圖象經(jīng)過A(4,32)、B(t,80)兩點.
(1)求y與x之間的函數(shù)表達式;
(2)求t的值,并解釋t的實際意義;
(3)如果廚師做出的面條橫截面面積不超過3.2mm2,那么面條的總長度至少為_____m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校開展“經(jīng)典誦讀”比賽活動,誦讀材料有《論語》、《大學(xué)》、《中庸》(依次用字母A,B,C表示這三個材料),將A,B,C分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上,背面朝上洗勻后放在桌面上,比賽時甲同學(xué)先從中隨機抽取一張卡片,記下內(nèi)容后放回,洗勻后,再由乙同學(xué)從中隨機抽取一張卡片,甲、乙兩同學(xué)按各自抽取的內(nèi)容進行誦讀比賽.
請用列表或畫樹狀圖的方法求甲、乙兩同學(xué)誦讀兩個不同材料的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】襄陽市精準(zhǔn)扶貧工作已進入攻堅階段.貧困戶張大爺在某單位的幫扶下,把一片坡地改造后種植了優(yōu)質(zhì)水果藍莓,今年正式上市銷售.在銷售的30天中,第一天賣出20千克,為了擴大銷量,采取了降價措施,以后每天比前一天多賣出4千克.第x天的售價為y元/千克,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 且第12天的售價為32元/千克,第26天的售價為25元/千克.已知種植銷售藍莓的成木是18元/千克,每天的利潤是W元(利潤=銷售收入﹣成本).
(1)m= ,n= ;
(2)求銷售藍莓第幾天時,當(dāng)天的利潤最大?最大利潤是多少?
(3)在銷售藍莓的30天中,當(dāng)天利潤不低于870元的共有多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=BC=2,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交OC于點D,AD的延長線交BC于點E,則BE的長為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是直角三角形,,分別是的中點,延長到,使.
(1)證明:四邊形是平行四邊形;
(2)若四邊形是菱形,則應(yīng)為多少度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】測量計算是日常生活中常見的問題,如圖,建筑物BC的屋頂有一根旗桿AB,從地面上D點處觀測旗桿頂點A的仰角為50°,觀測旗桿底部B點的仰角為45°,(可用的參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.8,tan50°≈1.2)
(1)若已知CD=20米,求建筑物BC的高度;
(2)若已知旗桿的高度AB=5米,求建筑物BC的高度.
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