Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得點P在射線BC上，且∠APB＝∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），則稱P為⊙C的依附點．

（1）當⊙O的半徑為1時

①已知點D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在點D，E，F中，⊙O的依附點是　 　；

②點T在直線y＝﹣x上，若T為⊙O的依附點，求點T的橫坐標t的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y＝﹣2x+2與x軸、y軸分別交于點M、N，若線段MN上的所有點都是⊙C的依附點，請求出圓心C的橫坐標n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①E、F；②＜t＜或﹣＜t＜﹣；（2）2＜n＜或﹣2＜n＜1﹣．

【解析】

（1）①根據(jù)P為⊙C的依附點，由圓內角度的相互轉換，判斷出當r<OP<3r（r為⊙C的半徑）時，P為⊙C的依附點，由此即可判斷；

②分兩種情形：點T在第二象限或第四象限分別求解即可；

（2）分兩種情形：點C在點M的右側，點C在點M的左側，根據(jù)題意分析計算即可．

解：（1）①當⊙O的半徑為1時，即圓心C與原點重合，

如圖，設B、D為圓O與x軸的左右交點，A為圓上任意一點，

∵OA=OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ADB＝∠AOB，

∵∠APB＝∠AOB，

∴∠ADB＝∠APB，

∴∠DAP＝∠APB，

∴AD＝DP，

當點A和點B重合時，OP＝3r，

當點A與點D重合時，OP＝r，

∵0°＜∠ACB＜180°，即0°＜∠AOB＜180°

∴r＜OP＜3r

根據(jù)P為⊙C的依附點，可知：當r＜OP＜3r（r為⊙C的半徑）時，點P為⊙C的依附點．

如圖1中，∵D(1，0)，E(0，2)，F(2.5，0)，

∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5，

∴1＜OE＜3，1＜OF＜3，

∴點E，F是⊙C的依附點，

故答案為：E、F；

②如圖2，

∵點T在直線y=上，

∴點T在第二象限或第四象限，直線y=與x軸所夾的銳角為60°，

當點T在第四象限，當OT＝1時，作CT⊥x軸，易求點，當OT'＝3時，作DT'⊥x軸，易求D，

∴滿足條件的點T的橫坐標t的取值范圍，

當點T在第二象限，同理可得滿足條件的點T的橫坐標t的取值范圍，

綜上所述：滿足條件的點T的橫坐標t的取值范圍：或，

（2）如圖3中，當點C在點M的右側時，

由題意M(1，0)，N(0，2)，

當CN=3時，OC=，此時C，

當CM＝1時，此時C(2，0)，

∴滿足條件的n的值的范圍為；

如圖4中，當點C在點M的右側時，

當⊙C與直線MN相切時，

由題意M(1，0)，N(0，2)，∴MN＝，

∴sin∠OMN=，

∴，

∴，

∴，

當CM=3時，C(2，0)，此時，滿足題意，

∴滿足條件的m的值的范圍為，

綜上所述，滿足條件的n的值的范圍為：或．