Question

如圖，拋物線與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC⊥x軸，交直線于點(diǎn)C；

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，判定點(diǎn)是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為.

（2）點(diǎn)A/的坐標(biāo)為（﹣3,4），點(diǎn)A/在該拋物線上，理由見解析.

（3）存在，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到時，四邊形PACM是平行四邊形.理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）把A（5,0）、B（-1,0）兩點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式中，解方程組得到b、c的值，即可求得拋物線的解析式.

（2）過點(diǎn)作⊥x軸于E，AA/與OC交于點(diǎn)D，可證得∽；再由相似三角形對應(yīng)邊成比例，可以求得點(diǎn)A′的坐標(biāo).然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，驗(yàn)證點(diǎn)A′是否在拋物線上即可.

（3）存在.設(shè)直線的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)C和點(diǎn)A′的坐標(biāo)代入直線方程，即可得到直線的解析式為；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M為，要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，則有 ，解此方程即可得到

點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（1）∵與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點(diǎn)，

∴， 解得

∴拋物線的解析式為.························································3分

（2）過點(diǎn)作⊥x軸于E，AA/與OC交于點(diǎn)D，

∵點(diǎn)C在直線y=2x上， ∴C（5，10）

∵點(diǎn)A和關(guān)于直線y=2x對稱，

∴OC⊥，=AD.

∵OA=5，AC=10,

∴.

∵, ∴.∴.·············5分

在和Rt中，

∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，

∴∠=∠ACD.

又∵∠=∠OAC=90°，

∴∽.

∴即.

∴=4，AE=8.

∴OE=AE－OA=3.

∴點(diǎn)A/的坐標(biāo)為（﹣3,4）.·······························7分

當(dāng)x=﹣3時，.

所以，點(diǎn)A/在該拋物線上.································8分

存在.

理由：設(shè)直線的解析式為y=kx+b,

則，解得

∴直線的解析式為.··················9分

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M為.

∵PM∥AC，

∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，

∴ .

解得（不合題意,舍去）當(dāng)x=2時，.

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到時，四邊形PACM是平行四邊形.····················11分

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.