Question

【題目】（1）如圖1，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，兩頂點(diǎn)B、C分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，顯然，當(dāng)OA⊥BC于點(diǎn)D時(shí)，頂點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離最大，試求出此時(shí)線段OA的長(zhǎng)．

（2）如圖2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，兩頂點(diǎn)B、C分別在x軸的正半制和y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，求出頂點(diǎn)A到原點(diǎn)O的最大距離．

（3）如圖3，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，頂點(diǎn)B、C分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，直接寫出頂點(diǎn)E到原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）OA=2+2；（2）2+；（3）2+，4.

【解析】

（1）解直角三角形求出AD、OD即可；

（2）如圖2中，取BC的中點(diǎn)K，連接OK，AK，OA．因?yàn)?/span>OA≤AK＋OK，推出O、K、A共線時(shí)，OA的值最大；

（3）如圖3中，取BC的中點(diǎn)K，連接OK、EK、OE．因?yàn)?/span>OE≤OK＋EK，推出O、K、E共線時(shí)，OE的值最大，當(dāng)點(diǎn)C與O重合時(shí)，OE的值最小.

（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=4，∠ACD=60°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，AD=ACsin60°=2，

∴OD=BC=2，

∴OA=2+2．

（2）如圖2中，取BC的中點(diǎn)K，連接OK，AK，OA．

在Rt△BOC中，OK=BC=2，

在Rt△ACK中，AK==，

∵OA≤AK+OK，

∴O、K、A共線時(shí)，OA的值最大，最大值為2+．

（3）如圖3中，取BC的中點(diǎn)K，連接OK、EK、OE．

則OK=BC=2，EC=4，∠ECK=90°，

在Rt△ECK中，EK==2，

∵OE≤OK+EK，

∴O、K、E共線時(shí)，OE的值最大，最大值為2+2．

當(dāng)點(diǎn)C與O重合時(shí)，OE的值最小，最小值為4．