Question

如圖，已知AB∥CD，

（1）如圖1，∠ABF和∠CDF的角平分線相交于E．∠E=140°，求∠BFD的度數(shù)；
（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別為AB、CD上的兩點(diǎn)，∠BEN=

1

3

∠BEO，∠DFN=

1

3

∠DFO，∠AEM=

1

3

∠AEO，∠CFM=

1

3

∠CFO，寫出∠M和∠N之間的數(shù)量關(guān)系并請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）在（2）中，若∠BEN=

1

n

∠BEO，∠DFN=

1

n

∠DFO，∠AEM=

1

n

∠AEO，∠CFM=

1

n

∠CFO，直接寫出∠M和∠N數(shù)量關(guān)系

 

（用含有n的代數(shù)式表示，不證明）

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=140°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=280°，從而得到∠BFD的度數(shù)；（2）先由已知得到∠NEO=

2

3

∠BEO，∠MEO=

2

3

∠AEO，再利用鄰補(bǔ)角得到∠NEO+∠MEO=

2

3

（∠BEO+∠AEO）=

2

3

×180°=120°，同理得到∠MFO+∠NFO=

2

3

（∠DFO+∠CFO）=

2

3

×180°=120°，再利用四邊形的內(nèi)角和即可求得）∠M+∠N=120°；（3）由（2）的方法可得到∠M+∠N=360°-（1-

1

n

）•180°-（1-

1

n

）•180°化簡(jiǎn)即可得到∠M+∠N=

360°

n

．

解答：解：（1）作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠ABE=∠BEG，∠CDE=∠GED，∠ABF+∠BFH=180°，∠HFD+∠CDF=180°，
∴ABF+∠BFH+∠HFD+∠CDF=360°
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=140°，
∴∠ABE+∠CDE=140°，
∵∠ABF和∠CDF的角平分線相交于E，
∴∠ABF+∠CDF=280°，
∴∠BFD=360°-280°=80°；
（2）∠M+∠N=120°
證明：∵∠BEN=

1

3

∠BEO，∠AEM=

1

3

∠AEO，
∴∠NEO=

2

3

∠BEO，∠MEO=

2

3

∠AEO，
∴∠NEO+∠MEO=

2

3

（∠BEO+∠AEO）=

2

3

×180°=120°，
同理，∴∠MFO+∠NFO=

2

3

（∠DFO+∠CFO）=

2

3

×180°=120°，
∴在四邊形MFNE中，∠M+∠N=360°-120°-120°=120°；
（3）∠M+∠N=

360°

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)．