【問題學(xué)習(xí)】小蕓在小組學(xué)習(xí)時問小娟這樣一個問題：已知α為銳角，且sinα=，求sin2α的值．

小娟是這樣給小蕓講解的：

如圖1，在⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°. 設(shè)∠BAC=α， 則sinα= = ．易得∠BOC=2α．設(shè)BC=x，則AB=3x，則AC=x．作CD⊥AB于D，求出CD=　　　　　（用含x的式子表示），可求得sin2α==　　　　　．

【問題解決】已知，如圖2，點M，N，P為⊙O上的三點，且∠P=β，sinβ = ，求sin2β的值.

如圖，⊙O的半徑為20，A是⊙O上一點，以OA為對角線作矩形OBAC，且OC=12. 直線BC與⊙O交于D，E兩點，求CE-BD的值.

某校九年級進行集體跳繩比賽.如下圖所示，跳繩時，繩甩到最高處時的形狀可看作是某拋物線的一部分，記作G，繩子兩端的距離AB約為8米，兩名甩繩同學(xué)拿繩的手到地面的距離AC和BD基本保持1米，當(dāng)繩甩過最低點時剛好擦過地面，且與拋物線G關(guān)于直線AB對稱.

（1）求拋物線G的表達式并寫出自變量的取值范圍；

（2）如果身高為1.5米的小華站在CD之間，且距點C的水平距離為m米，繩子甩過最高處時超過她的頭頂，直接寫出m的取值范圍.

如右圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若，，求⊙O的半徑．

如右圖，二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為M(1，-4).

（1）求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點A，B的坐標(biāo)；

（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P（點P與點M不重合），使，若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

某小區(qū)為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余、可回收和其他三類，分別記為a，b，c，并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分別記為A，B，C．

（1）若小明將一袋分好類的生活垃圾隨機投入一類垃圾箱，請畫樹狀圖或列表求垃圾投放正確的概率；

（2）為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該小區(qū)三類垃圾箱中總共100噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表（單位：噸）：

試估計該小區(qū)居民“廚余垃圾”投放正確的概率約是多少．

如下圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的長.

拋物線上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：

（1）求這個二次函數(shù)的表達式及頂點坐標(biāo)；

（2）直接寫出當(dāng)y＜0時x的取值范圍．

如下圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，     △ABC的頂點均在格點上.

（1）畫出將△ABC向右平移2個單位后得到的△A₁B₁C₁，再畫出將△A₁B₁C₁繞點B₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的△A₂B₁C₂；

（2）求線段B₁C₁旋轉(zhuǎn)到B₁C₂的過程中，點C₁所經(jīng)過的路徑長．

計算：．