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【題目】感知:如圖①,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是邊BC上一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合).連接AD,將AD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到DE,連接BE,過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F,可知△ADF≌△EDB,則∠ABE的大小為________.
探究:如圖②,在△ABC中,∠C=α(0°<α<90°),AC=BC,D是邊BC上一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合),連接AD,將AD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α,得到DE,連接BE,求證:∠ABE=α.
應(yīng)用:設(shè)圖②中的α=60°,AC=2.當(dāng)△ABE是直角三角形時(shí),AE=________.
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)A(0,1),B(3,2),C(1,4)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上.
(1)直接寫出點(diǎn)A,B,C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo);.
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱圖形△A2B2C2.
(3)計(jì)算△ABC的面積.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,△ABC為等邊三角形,其中點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(-3,-1),(-3,-3),(-3+,-2).現(xiàn)以y軸為對稱軸作△ABC的對稱圖形,得△A1B1C1,再以x軸為對稱軸作△A1B1C1的對稱圖形,得△A2B2C2.
(1)直接寫出點(diǎn)C1,C2的坐標(biāo).
(2)能否通過一次旋轉(zhuǎn)將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置?若能,請直接寫出所旋轉(zhuǎn)的度數(shù);若不能,請說明理由.
(3)設(shè)當(dāng)△ABC的位置發(fā)生變化時(shí),△A2B2C2,△A1B1C1與△ABC之間的對稱關(guān)系始終保持不變.
①當(dāng)△ABC向上平移多少個(gè)單位長度時(shí),△A1B1C1與△A2B2C2完全重合?并直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo);
②將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°(0≤α≤180),使△A1B1C1與△A2B2C2完全重合,此時(shí)α的值為多少?點(diǎn)C的坐標(biāo)又是什么?
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).
(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD與△CQP全等?
(2)若點(diǎn)Q以1.5cm/s的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng),則經(jīng)過_____秒后,點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的AC邊上相遇?(在橫線上直接寫出答案,不必書寫解題過程)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△AOB是邊長為2的等邊三角形,將△AOB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△DCB,使得點(diǎn)D落在x軸的正半軸上,連接OC,AD.
(1)求證:OC=AD;
(2)求OC的長.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,P是BC邊上一點(diǎn),將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′.
(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形;
(2)連接PP′,若∠BAP=20°,求∠PP′C的度數(shù).
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,給出以下五個(gè)結(jié)論:①AE=CF;②∠APE=∠CPF;③△EPF是等腰直角三角形;④EF=AP;⑤.當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合),上述結(jié)論中始終正確的序號有 .
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上,且∠BAC=90°時(shí),那么∠DCE= 度;
(2)設(shè)∠BAC= ,∠DCE= .
① 如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上,∠BAC≠90°時(shí),請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
② 如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上,∠BAC≠90°時(shí),請將圖3補(bǔ)充完整,并直接寫出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系(不需證明).
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【題目】如圖,P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA=6,PB=8,PC=10,若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△P′AB.
(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離;
(2)求∠APB的大小.
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【題目】如圖,在網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形圖案.
(1)請你分別畫出△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的圖形,關(guān)于點(diǎn)O對稱的圖形以及逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的圖形,并將它們涂黑;
(2)若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1,旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)依次為A1,A2,A3,求四邊形AA1A2A3的面積;
(3)這個(gè)美麗圖案能夠說明一個(gè)著名結(jié)論的正確性,請寫出這個(gè)結(jié)論.
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