Question

9．質(zhì)量分布均勻的實(shí)心立方體甲和乙放在水平地面上，如圖所示．甲和乙的邊長(zhǎng)分別為0.2米和0.1米，密度分別為2×10³千克/米³和5×10³千克/米³．
（1）物體乙對(duì)地面的壓強(qiáng)．
（2）若在甲、乙兩物體上部，分別切去相同質(zhì)量m₀后，使兩物體對(duì)地面的壓強(qiáng)相等，求切去的質(zhì)量m₀．
（3）若在甲、乙兩物體上部，分別切去相同體積V₀后，使兩物體對(duì)地面的壓強(qiáng)相等，求切去的體積V₀．

Answer 1

分析 （1）立方體物體對(duì)地面的壓強(qiáng)p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρgh，知道乙的邊長(zhǎng)和密度可求物體乙對(duì)地面的壓強(qiáng)；
（2）知道邊長(zhǎng)，可求兩物體底面積（地面受力面積）；求出兩物體的體積，知道密度，利用G=mg=ρVg可求兩物體重力；在甲、乙兩物體上部分別切去相同質(zhì)量m₀后，可求剩余物體的重力，對(duì)地面的壓力等于剩余物體的重力，利用壓強(qiáng)定義式求對(duì)地面的壓強(qiáng)，而壓強(qiáng)相等，據(jù)此列方程求m₀的大小；
（3）在甲、乙兩物體上部分別切去相同體積V₀后，可求剩余物體的重力，對(duì)地面的壓力等于剩余物體的重力，利用壓強(qiáng)定義式求對(duì)地面的壓強(qiáng)，而壓強(qiáng)相等，據(jù)此列方程求V₀的大小．

解答 解：
（1）因?yàn)榱⒎襟w物體對(duì)地面的壓強(qiáng)：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρgh，
所以物體乙對(duì)地面的壓強(qiáng)：
p_乙=ρ_乙gh_乙=5×10³kg/m³×10N/kg×0.1m=5000Pa；
（2）兩物體底面積（地面受力面積）：
S_甲=（0.2m）²=0.04m²，
S_乙=（0.1m）²=0.01m²，
兩物體重力：
G_甲=m_甲g=ρ_甲V_甲g=2×10³kg/m³×10N/kg×（0.2m）³=160N，
G_乙=m_乙g=ρ_乙V_乙g=5×10³kg/m³×10N/kg×（0.1m）³=50N，
在甲、乙兩物體上部分別切去相同質(zhì)量m₀后，剩余物體的重力：
G_甲′=G_甲-m₀g=160N-m₀g，
G_乙′=G_乙-m₀g=50N-m₀g，
對(duì)地面的壓力：
F_甲′=G_甲′=160N-m₀g，
F_乙′=G_乙′=50N-m₀g，
對(duì)地面的壓強(qiáng)：
p_甲′=$\frac{{F}_{甲}′}{{S}_{甲}}$=$\frac{160N-{m}_{0}g}{0.04{m}^{2}}$，
p_乙′=$\frac{{F}_{乙}′}{{S}_{乙}}$=$\frac{50N-{m}_{0}g}{0.01{m}^{2}}$，
由題知，p_甲′=p_乙′，
即：$\frac{160N-{m}_{0}g}{0.04{m}^{2}}$=$\frac{50N-{m}_{0}g}{0.01{m}^{2}}$，
解得：m₀≈1.3kg；
（3）在甲、乙兩物體上部分別切去相同體積V₀后，剩余物體的重力：
G_甲″=G_甲-ρ_甲V₀g=160N-ρ_甲V₀g，
G_乙″=G_乙-ρ_乙V₀g=50N-ρ_乙V₀g，
對(duì)地面的壓力：
F_甲″=G_甲″=160N-ρ_甲V₀g，
F_乙″=G_乙″=50N-ρ_乙V₀g，
對(duì)地面的壓強(qiáng)：
p_甲″=$\frac{{F}_{甲}″}{{S}_{甲}}$=$\frac{160N-{ρ}_{甲}{V}_{0}g}{0.04{m}^{2}}$，
p_乙″=$\frac{{F}_{乙}′}{{S}_{乙}}$=$\frac{50N-{ρ}_{乙}{V}_{0}g}{0.01{m}^{2}}$，
由題知，p_甲″=p_乙″，
即：$\frac{160N-{ρ}_{甲}{V}_{0}g}{0.04{m}^{2}}$=$\frac{50N-{ρ}_{乙}{V}_{0}g}{0.01{m}^{2}}$，
解得：V₀≈2.2×10^-4m³．
答：（1）物體乙對(duì)地面的壓強(qiáng)為5000Pa．
（2）若在甲、乙兩物體上部，分別切去相同質(zhì)量m₀后，使兩物體對(duì)地面的壓強(qiáng)相等，切去的質(zhì)量為1.3kg；
（3）若在甲、乙兩物體上部，分別切去相同體積V₀后，使兩物體對(duì)地面的壓強(qiáng)相等，切去的體積為2.2×10^-4m³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了壓強(qiáng)的計(jì)算，難點(diǎn)在后兩問(wèn)，根據(jù)剩余物體對(duì)地面的壓強(qiáng)相等得出關(guān)于m₀和V₀的方程是本題的關(guān)鍵．