Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-3
（1）求函數(shù)g（x）=e^xf（x）的極值；
（2）過點A（2，t），存在與曲線y=x（f（x）-9）相切的3條切線，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的解析式和導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）設點P（x₀，x₀³-12x₀）是曲線y=x（f（x）-9）的切點，寫出在P點處的切線的方程，將點A（2，t）代入，將t分離出來，根據(jù)有三條切線，所以方程應有3個實根，設h（x）=2x³-6x²+t+24，只要使曲線有3個零點即可．建立不等關系解之即可．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=e^xf（x）=e^x（x²-3），
g′（x）=e^x（x²+2x-3）=）=e^x（x+3）（x-1），
當x＞1或x＜-3時，g′（x）＞0，g（x）在（-∞，-3），（1，+∞）遞增，
當-3＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）在（-3，1）遞減．
即有g（x）在x=1處取得極小值，且為-2e，在x=-3處取得極大值，且為6e^-3；
（2）設點P（x₀，x₀³-12x₀）是過點A的直線與曲線y=x（f（x）-9）的切點，
y′=（x³-12x）′=3x²-12，
則在P點處的切線的方程為y-x₀³+12x₀=3（x₀²-4）（x-x₀）
即y=3（x₀²-4）x-2x₀³
因為其過點A（2，t），所以，t=6（x₀²-4）-2x₀³=-2x₀³+6x₀²-24，
由于有三條切線，所以方程應有3個實根，
設h（x）=2x³-6x²+t+24，只要使函數(shù)h（x）有3個零點即可．
設h′（x）=6x²-12x=0，∴x=0或x=2分別為g（x）的極值點，
當x∈（-∞，0）和（2，+∞）時h′（x）＞0，h（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上單增，
當x∈（0，2）時h′（x）＜0，h（x）在（0，2）上單減，
所以，x=0為極大值點，x=2為極小值點．
所以要使曲線與x軸有3個交點，
當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞0}\\{h（2）＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{t+24＞0}\\{t+16＜0}\end{array}\right.$，
解得-24＜t＜-16．
即有t的范圍為（-24，-16）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導數(shù)的幾何意義和極值的求法，注意函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題和易錯題．