Question

19．蕪湖市爭創(chuàng)“全國文明城市”工作于2015年伊始進(jìn)入攻堅階段，其中一項重要考核內(nèi)容是普通市民對“社會主義核心價值觀”知曉情況．教育部門特組織n名在校學(xué)生（包括小學(xué)生、初中生和高中生）作為調(diào)查對象，其中小學(xué)生有$\frac{2}{5}$n人；從這n名學(xué)生中任意選2名，則至少有1名初中生的概率是$\frac{7}{9}$．
（Ⅰ）若n=10，從n名學(xué)生中任意選3人，得到初中生的人數(shù)記為ξ，請寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）記“從n名學(xué)生當(dāng)中任意選2人，至少有1名小學(xué)生”為事件A，求P（A）的最大值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)這n名學(xué)生中有初中生、高中生分別有x，y人，則x+y=$\frac{3}{5}$n，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{n-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．當(dāng)n=10時，代入上式化簡可得：小學(xué)生、初中生和高中生人數(shù)分別為4，5，1．
ξ的取值可能為0，1，2，3．再利用“超幾何分別”可得分布列及其數(shù)學(xué)期望．
（II）設(shè)這n名學(xué)生中有初中生、高中生分別有x，y人，則x+y=$\frac{3}{5}$n，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{n-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．n為5的正正整數(shù)倍，n=5不滿足上式，因此n最小值為10．又P（A）=$\frac{{∁}_{\frac{2}{5}n}^{1}{∁}_{\frac{3}{5}n}^{1}+{∁}_{\frac{2}{5}n}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$，利用其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）設(shè)這n名學(xué)生中有初中生、高中生分別有x，y人，則x+y=$\frac{3}{5}$n，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{n-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．
當(dāng)n=10時，x+y=6，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{10-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．化為（x-5）（x-14）=0，又x＜6，解得x=5，
∴y=1．
∴n=10時，小學(xué)生、初中生和高中生人數(shù)分別為4，5，1．
ξ的取值可能為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{5}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{5}^{2}{∁}_{5}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{5}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{12}$+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．
（II）設(shè)這n名學(xué)生中有初中生、高中生分別有x，y人，則x+y=$\frac{3}{5}$n，$\frac{{∁}_{x}^{1}{∁}_{n-x}^{1}+{∁}_{x}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{9}$．
n為5的正正整數(shù)倍，n=5不滿足上式，因此n最小值為10．
又P（A）=$\frac{{∁}_{\frac{2}{5}n}^{1}{∁}_{\frac{3}{5}n}^{1}+{∁}_{\frac{2}{5}n}^{2}}{{∁}_{n}^{2}}$=$\frac{16{n}^{2}-10n}{25{n}^{2}-25n}$=$\frac{16n-10}{25n-25}$=$\frac{2}{25}（8+\frac{3}{n-1}）$≤$\frac{2}{25}（8+\frac{3}{9}）$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了分層抽樣、古典概率計算公式、組合數(shù)的計算公式、“超幾何分布”的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．