Question

15．某汽車銷售店以8萬元/輛的價(jià)格購進(jìn)了某品牌的汽車．根據(jù)以往的銷售分析得出，當(dāng)售價(jià)定為10萬元/輛時(shí)，每年可銷售100輛該品牌的汽車，當(dāng)每輛的銷售每提高1千元時(shí)，年銷售量就減少2輛．
（1）若要獲利最大年利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少萬元/輛？
（2）該銷售店為了提高銷售業(yè)績，推出了分期付款的促銷活動(dòng)．已知銷售一輛該品牌的汽車，若一次性付款，其利潤為2萬元；若分2期或3期付款，其利潤為2.5萬元；若分4期或5期付款，其利潤為3萬元．該銷售店對最近分期付款的10位購車情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表．

付款方式	一次性	分2期	分3期	分4期	分5期
頻數(shù)	1	1	3	2	3

若X表示其中任意兩輛的利潤之差的絕對值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為x萬元/輛，利用當(dāng)售價(jià)定為10萬元/輛時(shí)，每年可銷售100輛該品牌的汽車，當(dāng)每輛的銷售每提高1千元時(shí)，年銷售量就減少2輛，可得年利潤y=（x-8）（100-2×$\frac{x-10}{0.1}$），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為x萬元/輛，則年利潤y=（x-8）（100-2×$\frac{x-10}{0.1}$）=-20（x-$\frac{23}{2}$）²+245，
∴x=$\frac{23}{2}$時(shí)，最大年利潤為245萬元；
（2）X的取值為0，0.5，1，
則P（X=0）=$\frac{2}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=0.5）=1-P（X=0）-P（X=1）=$\frac{3}{5}$，
∴X的分布列

X	0	0.5	1
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（X）=0×$\frac{1}{5}$+0.5×$\frac{3}{5}$+1×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查概率與統(tǒng)計(jì)知識，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．