Question

5．在△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，則sinA•sinC的最大值是$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得sinAsinC=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由0＜A＜$\frac{3π}{4}$，得-$\frac{π}{4}$＜2A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，從而可得sinA•sinC的最大值．

解答 解：sinAsinC=sinAsin（π-A-B）
=sinAsin（$\frac{3π}{4}$-A）
=sinA（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA）
=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin2A-$\frac{\sqrt{2}}{4}$cos2A+$\frac{\sqrt{2}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∵0＜A＜$\frac{3π}{4}$
∴-$\frac{π}{4}$＜2A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$
∴2A-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，sinAsinC取得最大值$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．