Question

14．過圓E：（x-1）²+y²=1上的點(diǎn)M（${\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$）作圓的切線l，切線l與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）圓E的切線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，求|AF|+|BF|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，有兩種情況：①切點(diǎn)為原點(diǎn)，切線為y軸，此時(shí)|AF|+|BF|=6；
②切點(diǎn)為圓E與x軸的另一交點(diǎn)N（2，0），此時(shí)直接得出；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m，因?yàn)榕c圓E相切，得$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1，2km+{m^2}=1$，顯然m≠0，$k=\frac{{1-{m^2}}}{2m}$，與橢圓的方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)過點(diǎn)M的圓E的切線方程為$y-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=k（{x-\frac{3}{2}}）$，則圓心（1，0）到這條直線的距離是$d=\frac{{|{-\frac{1}{2}k+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，得$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴切線l方程為$y-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-\frac{3}{2}}）$，當(dāng)x=0時(shí)，$y=\sqrt{3}$，當(dāng)y=0時(shí)，x=3．
由題意得，橢圓E的方程為：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，有兩種情況：①切點(diǎn)為原點(diǎn)，切線為y軸，此時(shí)|AF|+|BF|=6；
②切點(diǎn)為圓E與x軸的另一交點(diǎn)N（2，0），此時(shí)$A（{2，\frac{{\sqrt{15}}}{3}}），B（{2，-\frac{{\sqrt{15}}}{3}}），|{AF}|+|{BF}|=2|{AF}|=2\sqrt{{{（{2+\sqrt{6}}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{15}}}{3}}）}^2}}=2\sqrt{\frac{{35+12\sqrt{6}}}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{105+36\sqrt{6}}＞6$．
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m，因?yàn)榕c圓E相切，得$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1，2km+{m^2}=1$，顯然m≠0，∴$k=\frac{{1-{m^2}}}{2m}$，
把y=kx+m代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}$，
又知橢圓C的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$|{AF}|+|{BF}|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}（{{x_1}+{x_2}}）+6=\frac{{\sqrt{6}}}{3}×\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}+6$=$-4\sqrt{6}×\frac{{-{m^2}+{m^2}}}{{3{m^4}-2{m^2}+3}}+6$，
令$t={m^2}（{t＞0}），g（t）=\frac{{-{t^2}+t}}{{3{t^2}-2t+3}}，g'（x）=\frac{{-{t^2}-6t+3}}{{{{（{3{t^2}-2t+3}）}^2}}}$，令t²+6t-3=0，解得$t=-3+2\sqrt{3}$或$t=-3-2\sqrt{3}$（舍去）．
當(dāng)$t=-3+2\sqrt{3}$時(shí)，g（t）取得最大值，此時(shí)|AF|+|BF|取得最小值為$6+\frac{{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}}{2}＜6$，故|AF|+|BF|取得最小值為$6+\frac{{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．