Question

14．一個(gè)盒子里裝有大小均勻的8個(gè)小球，其中有紅色球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4；白色球4個(gè)，編號(hào)分別為2，3，4，5．從盒子中任取4個(gè)小球 （假設(shè)取到任何一個(gè)小球的可能性相同）．
（Ⅰ） 求取出的4個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的概率．
（Ⅱ） 在取出的4個(gè)小球中，小球編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取出的4個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的對(duì)立事件是取到的4個(gè)小球中沒有編號(hào)為4的小球，由此能求出取出的4個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的概率．
（2）由已知得X的可取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）一個(gè)盒子里裝有大小均勻的8個(gè)小球，其中有紅色球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4；
白色球4個(gè)，編號(hào)分別為2，3，4，5．
從盒子中任取4個(gè)小球，基本事件總數(shù)n=${C}_{8}^{4}$=70，
取出的4個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的對(duì)立事件是取到的4個(gè)小球中沒有編號(hào)為4的小球，
∴取出的4個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的概率：
p=1-$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{11}{14}$…．（4分）
（2）由已知得X的可取值為3，4，5，…..（5分）
$P（X=3）=\frac{C_2^1}{C_8^4}+\frac{C_3^2}{C_8^4}=\frac{5}{70}$=$\frac{1}{14}$．…..（7分）
$P（X=4）=\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{4}}+\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$．…（9分）
$P（X=5）=\frac{C_7^3}{C_8^4}=\frac{35}{70}$=$\frac{1}{2}$．…．（11分）
X的分布列為

X	3	4	5
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{2}$

…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．