Question

6．已知點P（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2≤0}\\{y-1≤0}\\{x+2y-2≥0}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域上運動，則$z=\frac{2x+y-12}{x-4}$取值范圍是（　　）

• A． [-2，-1]
• B． [-2，1]
• C． [-1，2]
• D． $[\frac{11}{4}，4]$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用分式的性質(zhì)結(jié)合直線斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
$z=\frac{2x+y-12}{x-4}$=$\frac{2（x-4）+y-4}{x-4}$=2+$\frac{y-4}{x-4}$，
設(shè)k=$\frac{y-4}{x-4}$，
則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點D（4，4）的斜率，
其中A（0，1），B（2，0），
由圖象知AD的斜率最小，BD的斜率最大，
則k_AD=$\frac{4-1}{4}$=$\frac{3}{4}$，k_BD=$\frac{4-0}{4-2}=\frac{4}{2}$=2，
則$\frac{3}{4}$≤k≤2，$\frac{11}{4}$≤k+2≤4，
即$\frac{11}{4}$≤z≤4，
故選：D

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)直線斜率的公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．