已知函數(shù)f（x）=x+
1
x
+alnx的圖象上任意一點(diǎn)的切線中，斜率為2的切線有且僅有一條．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）+2x的極值．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=1-
1
x2
+
a
x
=
x2+ax-1
x2
．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a．
（Ⅱ）g(x)=3x+
1
x
+2lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），g′(x)=3-
1
x2
+
2
x
=
3x2+2x-1
x2
．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）=f（x）+2x的極值．
解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x+
1
x
+alnx，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=1-
1
x2
+
a
x
=
x2+ax-1
x2
．
設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處的切線的斜率為2，
則
x
2
0
+ax0-1
x
2
0
=2，
即
x
2
0
-ax0+1=0．
欲使該方程在x∈（0，+∞）內(nèi)有且僅有一根，
應(yīng)滿足
a＞0
△=a2-4=0
，解得a=2．
（Ⅱ）g(x)=3x+
1
x
+2lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），
g′(x)=3-
1
x2
+
2
x
=
3x2+2x-1
x2
．g'（x）＞0，解得x＞
1
3
；
g'（x）＜0，解得0＜x＜
1
3
．
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(
1
3
，+∞)，遞減區(qū)間為(0，
1
3
)
所以函數(shù)有極小值g(
1
3
)=4-2ln3．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
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已知函數(shù)f（x）=sin（π-x）-cosx（x∈R）．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大、小值；
（3）若f（α）=
2
α∈（
π
2
，π），求sinα+cosα的值．

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（1）設(shè)x，y滿足約束條件
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x≥0，y≥0
，則
x-2y-1
y-2
的取值范圍是多少？
（2）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2-2xy+4y2=1，求2x+y的最大值．

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已知函數(shù)f(x)=ln(
1
2
+
ax
2
)+x2-ax（a為常數(shù)，a＞0）
（1）若x=
1
2
是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若f(x)在[
1
2
，+∞)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
（3）若對任意的a∈（1，2），總存在x0∈[
1
2
，1]，使不等式f(x0)＞m（1-a2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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（Ⅰ）求f（x）的極值（用含m的式子表示）；
（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸有3個(gè)不同交點(diǎn)，求m的取值范圍．

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設(shè)x，y∈R，a＞1，b＞1．若ax=by=5，a+b=10，則
1
x
+
1
y
的最大值為
 
．

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在△ABC中，c=3
2
+
6
，C=60°，則a+b的取值范圍為
 
．

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