Question

已知函數(shù)f(x)=ln(

1

2

+

ax

2

)+x2-ax（a為常數(shù)，a＞0）
（1）若x=

1

2

是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的值；
（2）若f(x)在[

1

2

，+∞)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
（3）若對任意的a∈（1，2），總存在x0∈[

1

2

，1]，使不等式f(x0)＞m（1-a²）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題

分析：（1）由已知，得f′（

1

2

）=0且

a2-2

2a

≠0，解出即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)大于0，再求最值，即可求得0＜a≤2；
（3）問題等價于：對任意a∈（1，2），不等式ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1）＞0恒成立，令g（a）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1），（1＜a＜2），求導(dǎo)數(shù)，分類討論，從而g（a）在（1，2）單調(diào)遞增，解不等式組求出m的值即可．

解答： 解：f′（x）=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

，
（1）由已知，得f′（

1

2

）=0且

a2-2

2a

≠0，
∴a²-a-2=0，
∴a=2；
(2)f(x)在[

1

2

，+∞)是增函數(shù)，即f，(x)=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

≥0在[

1

2

，+∞)恒成立，a＞0，x∈[

1

2

，+∞)∴

2ax

1+ax

＞0，f，(x)=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

≥0在[

1

2

，+∞)恒成立等價于x-

a2-2

2a

≥0在[

1

2

，+∞)恒成立，

x≥ a2-2 2a 在[ 1 2 ，+∞)恒成立即 1 2 ≥ a2-2 2a 又a＞0

，
∴0＜a≤2，又a=2時，f′（x）=0不恒成立，
∴a的取值范圍是0＜a＜2；
（3）∵a∈（1，2）時，
f（x）在[

1

2

，1]上的最大值為f（1）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a，
∴問題等價于：對任意a∈（1，2），不等式ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1）＞0恒成立
令g（a）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1），（1＜a＜2），
∴g′（a）=

a

1+a

[2ma-（1-2m）]，
當(dāng)m=0時，g′（a）=-

a

1+a

＜0．
∴g（a）在（1，2）上單調(diào)遞減，
∴g（a）＜g（1）=0，
由于a²-1＞0，當(dāng)m≤0 時不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0
∴g′（a）=

2ma

1+a

[a-（

1

2m

-1）]，
若

1

2m

-1＞1可知g（a）在區(qū)間（1，min{2，

1

2m

-1}）上遞減，
在此區(qū)間上，有g(shù)（a）＜g（1）=0與g（a）＞0恒成立矛盾，
∴

1

2m

-1≤1，g′a）＞0，
∴g（a）在（1，2）單調(diào)遞增
恒有g(shù)（a）＞g（1）=0滿足題設(shè)要求，
∴

1

2m

-1≤1且m＞0，
∴m≥

1

4

，
∴m的取值范圍是[

1

4

，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．