Question

5．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）；
（1）C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\\{y=-3-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）距離的最小值；
（3）若Q為曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求Q到直線C₃距離的最小值和最大值；
（4）已知點(diǎn)P（x，y）是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求2x+y的取值范圍；
（5）若x+y+a≥0恒成立，（x，y）在曲線C₁上，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)化為普通方程，然后判斷圖形．
（2）求出QP的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離求解，通過兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的最值求解即可．
（3）借助（2）利用三角函數(shù)的最值求解即可．
（4）利用三角函數(shù)的最值化簡(jiǎn)求解即可．
（5）利用函數(shù)的恒成立求解最值，推出a的范圍即可．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t，可得：（x+4）²+（y-3）²=1，表示以（-4，3）為圓心，1為半徑的圓．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，消去參數(shù)θ；可得：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓．
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)t=$\frac{π}{2}$，可得P（-4，4），Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，Q（6cosθ，2sinθ），
PQ的中點(diǎn)（-2+3cosθ，2+sinθ）．
PQ中點(diǎn)M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\\{y=-3-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）即$x+\sqrt{3}y+6\sqrt{3}=0$距離為：$\frac{|-2+3cosθ+\sqrt{3}（2+sinθ）+6\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=$\left|\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{3}）+4\sqrt{3}-1|$，
它的最小值：3$\sqrt{3}-1$；
（3）Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，Q（6cosθ，2sinθ），
PQ的中點(diǎn)（-2+3cosθ，2+sinθ）．
PQ中點(diǎn)M到直線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\\{y=-3-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）即$x+\sqrt{3}y+6\sqrt{3}=0$距離為：$\frac{|-2+3cosθ+\sqrt{3}（2+sinθ）+6\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=$\left|\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{3}）+4\sqrt{3}-1|$，
它的最小值：3$\sqrt{3}-1$；
最大值：5$\sqrt{3}-1$；
（4）已知點(diǎn)P（x，y）是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，P（-4+cost，3+sint），
2x+y=-8+2cost+3+sint=-5+sint+2cost=$\sqrt{5}$sin（t+θ）-5，其中tanθ=2，
$\sqrt{5}$sin（t+θ）-5∈[-5-$\sqrt{5}$，$-5+\sqrt{5}$]
2x+y的取值范圍：[-5-$\sqrt{5}$，$-5+\sqrt{5}$]；
（5）若x+y+a≥0恒成立，可得a≥-x-y恒成立，即a≥（-x-y）_max．
曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，P（-4+cost，3+sint），-x-y=-sint-cost+1=-$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）+1≤1+$\sqrt{2}$．
實(shí)數(shù)a的取值范圍[1+$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立，參數(shù)方程與普通方程的互化，三角函數(shù)的最值的求法，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．