Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設b_n=a_n+n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過S_n=2a_n-2與S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）作差、整理可知a_n=2a_n-1（n≥2），進而可知數(shù)列{a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）分組求和相加即得結(jié)論．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵a₁=2a₁-2即a₁=2滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=a_n+n=2ⁿ+n，
∴T_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）
=（2•2ⁿ-2）+$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$n（n+1）-2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．