Question

13．已知△ABC中，tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，又$\sqrt{3}$tanA+$\sqrt{3}$tanB+1=tanBtanA，則角B的大小為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和的正切公式、誘導公式求得B+C=$\frac{π}{3}$，A+B=$\frac{5π}{6}$，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和公式求得角B的大�。�

解答 解：△ABC中，∵tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，∴tan（B+C）（1-tanBtanC）+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，
∴tan（B+C）=$\sqrt{3}$，∴B+C=$\frac{π}{3}$．
又$\sqrt{3}$tanA+$\sqrt{3}$tanB+1=tanBtanA，∴$\sqrt{3}$tan（A+B）（1-tanAtanB）=tanBtanA-1，
∴tan（A+B）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A+B=$\frac{5π}{6}$．
再結(jié)合A+B+C=π，求得B=$\frac{π}{6}$，
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查兩角和的正切公式、誘導公式的應用，三角形的內(nèi)角和公式，屬于基礎(chǔ)題．