Question

17．若函數(shù)f（x）=2^|x-a|（a∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在[m，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最小值等于1．

Answer 1

分析 先由f（1+x）=f（1-x）得到f（x）的圖象關于直線x=1軸對稱，進而求得a=1，再根據(jù)題中所給單調(diào)區(qū)間，求出m≥1．

解答 解：因為f（1+x）=f（1-x），
所以，f（x）的圖象關于直線x=1軸對稱，
而f（x）=2^|x-a|，所以f（x）的圖象關于直線x=a軸對稱，
因此，a=1，f（x）=2^|x-1|，
且該函數(shù)在（-∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又因為函數(shù)f（x）在[m，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，m≥1，即實數(shù)m的最小值為1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查了指數(shù)型復合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及該函數(shù)圖象的對稱性和單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．