Question

15．如圖所示，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，G，H分別是的B₁C₁，C₁D₁中點(diǎn)，求證：DH，BG，CC₁延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析 證明四邊形GHDB是梯形，得出BG，DH相交，假設(shè)交點(diǎn)為P，則P為平面BC₁和平面DC₁的公共點(diǎn)，故P在直線CC₁上，結(jié)論得證．

解答 證明：∵G，H分別是的B₁C₁，C₁D₁中點(diǎn)，
∴GH∥B₁D₁，GH=$\frac{1}{2}$B₁D₁，
∵BD∥B₁D₁，BD=B₁D₁，
∴四邊形GHDB是梯形，DB∥GH，
∴BG，DH是相交直線，
設(shè)BG∩DH=P，則P∈BG，P∈DH，
∵BG?平面BC₁，DH?平面DC₁，
∴P∈平面BC₁，P∈平面DC₁，
∵平面BC₁∩平面DC₁=CC₁，
∴P∈CC₁，
即BG，DH，CC₁交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．