Question

16．已知a，b，c∈R，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，集合A={x|f（x）=ax+b}，B={x|f（x）=cx+a}．
（Ⅰ）若a=b=2c，求集合B；
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m＜n），求實數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=b=2c，解方程即可求集合B；
（Ⅱ）根據(jù)A∪B={0，m，n}，則0∈A∪B，討論0與集合A．B的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a=b=2c≠0，
∴由f（x）=cx+a得ax²+bx+c=cx+a，
即2cx²+2cx+c=cx+2c，
得2cx²+cx-c=0，即2x²+x-1=0，
解得x=-1或x=$\frac{1}{2}$，即B={-1，$\frac{1}{2}$}
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m＜n），
則①當(dāng)0∈A，0∈B時，即a=b=c，
由ax²+bx+c=ax+b，即ax²+ax+a=ax+a，即ax²=0，解得x=0，
即A={0}，
由ax²+bx+c=cx+a，ax²+ax+a=ax+a，即ax²=0，解得x=0，
即B={0}，則A∪B={0}，則不符合題意．
②當(dāng)0∈A，0∉B時，即a≠c，b=c，
則A={0，$\frac{a-c}{a}$}，B={$±\sqrt{\frac{a-c}{a}}$}，
則此時必有c=0，則m=-1，n=1．
③當(dāng)0∉A，0∈B時，即a=c，b≠c，即B={0，$\frac{c-b}{c}$}，
由cx²+bx+c=cx+b得cx²+（b-c）x+c-b=0，
∵b≠c，∴方程的另外一個根$\frac{c-b}{c}$≠0，則$\frac{c-b}{c}$∉A，
則判別式△=（b-c）²-4c（c-b）=0，
解得b=-3c，解得m=2，n=4，
綜上m=-1，n=1．或m=2，n=4．

點(diǎn)評 本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用一元二次方程的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．