Question

8．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²+a（a∈R），其導函數(shù)為f′（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f′（x）+（2a-1）x的極值；
（Ⅱ）當x＞1時，關于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出滿足條件的a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ） 由題知x＞0，f'（x）=lnx-2ax+1，（1分）
則g（x）=f'（x）+2a（x-1）=lnx-x+1，$g'（x）=\frac{1-x}{x}$，（2分）
當0＜x＜1時，$g'（x）=\frac{1-x}{x}＞0$，g（x）為增函數(shù)；當x＞1時，$g'（x）=\frac{1-x}{x}＜0$，g（x）為減函數(shù)．
所以當x=1時，g（x）有極大值g（1）=0，g（x）無極小值．（4分）
（Ⅱ） 由題意，f'（x）=lnx-2ax+1，
（�。� 當a≤0時，f'（x）=lnx-2ax+1＞0在x＞1時恒成立，
則f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，與已知矛盾，故a≤0不符合題意．（6分）
（ⅱ） 當a＞0時，令φ（x）=f'（x）=lnx-2ax+1，則$φ'（x）=\frac{1}{x}-2a$，且$\frac{1}{x}∈（0，1）$．
①當2a≥1，即$a≥\frac{1}{2}$時，$φ'（x）=\frac{1}{x}-2a＜0$，
于是φ（x）在x∈（1，+∞）上單調遞減，
所以φ（x）＜φ（1）=1-2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．
則f（x）在x∈（1，+∞）上單調遞減，
所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合題意．（10分）
②當0＜2a＜1，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2a}$＞1，$φ'（x）=\frac{1}{x}-2a=\frac{{-2a（x-\frac{1}{2a}）}}{x}$，
若$x∈（1，\frac{1}{2a}）$，則φ'（x）＞0，φ（x）在$（1，\frac{1}{2a}）$上單調遞增；
若$x∈（\frac{1}{2a}，+∞）$，則φ'（x）＜0，φ（x）在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調遞減．
又φ（1）=1-2a＞0，所以φ（x）＞0在$（1，\frac{1}{2a}）$上恒成立，即f'（x）＞0在$（1，\frac{1}{2a}）$上恒成立，
所以f（x）在$（1，\frac{1}{2a}）$上單調遞增，則f（x）＞f（1）=0在$（1，\frac{1}{2a}）$上恒成立，
所以$0＜a＜\frac{1}{2}$不符合題意．
綜上所述，a的取值范圍$[\frac{1}{2}，+∞）$．（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．