Question

15．求經(jīng)過點(diǎn)（1，-7）與圓x²+y²=25相切的切線方程，并求切線的長．

Answer 1

分析 設(shè)出切線的斜率為k，根據(jù)切線過已知點(diǎn)表示出出切線方程，因?yàn)橹本�與圓相切，所以圓心到直線的距離d等于半徑r，故利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出d，讓d等于r列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可確定出切線方程．求出（1，-7）到圓心O（0，0）的距離，由此利用勾股定理能求出切線長．

解答 解：若切線的斜率不存在，由于切線過點(diǎn)（1，-7），直線方程為x=1
與圓x²+y²=25 相交，不滿足要求
若切線的斜率不存在，設(shè)切線的斜率為k，由于切線過點(diǎn)（1，-7），
設(shè)切線的方程為y+7=k（x+1）
即kx-y+k-7=0
由直線與圓相切，圓心到直線的距離d等于半徑r，
∴$\frac{|k-7|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，或k=$\frac{4}{3}$，
∴切線的方程為3x+4y+25=0或4x-3y-25=0．
∵圓x²+y²=25的圓心為O（0，0），半徑r=5，
∴（1，-7）到圓心O（0，0）的距離d=$\sqrt{1+49}$=5$\sqrt{2}$，
∴切線長為：$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{5}^{2}}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用，是中檔題．