6.在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足2bcosA+ccosA+acosC=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,求bc的最大值.

分析 (1)由2bcosA+ccosA+acosC=0,利用正弦定理可得:2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0,進(jìn)而化為2cosA=-1,根據(jù)A的范圍即可得出.
(2)根據(jù)余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,9=b2+c2+bc,再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:(1)∵2bcosA+ccosA+acosC=0,
∴2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0,
∴2sinBcosA+sin(C+A)=0,
∴2sinBcosA=-sinB,
∵sinB≠0,∴cosA=-$\frac{1}{2}$,
A∈(0,π),∴A=$\frac{2π}{3}$.
(2)根據(jù)余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bc$cos\frac{2π}{3}$,∴9=b2+c2+bc≥3bc,解得bc≤3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時取等號.
∴bc的最大值為3.

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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