Question

10．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓上，如果PF₁的中點(diǎn)在y軸上，且|PF₁|=$\frac{5}{3}$|PF₂|，則橢圓的離心率e為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的定義和條件，可得|PF₂|=$\frac{3}{4}$a，運(yùn)用三角形的中位線定理，可得PF₂垂直于x軸，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{3}{4}$a，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由橢圓的定義可得，|PF₁|+|PF₂|=2a，
由|PF₁|=$\frac{5}{3}$|PF₂|，可得|PF₂|=$\frac{3}{4}$a，
由PF₁的中點(diǎn)在y軸上，可得PF₂垂直于x軸，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{3}{4}$a，即有b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，
即c²=$\frac{1}{4}$a²，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和三角形的中位線定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．