Question

15．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的一個動點．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b．
（1）當(dāng)a=-1，b=-3時，求f（x）的不動點；
（2）若f（x）有兩個相異的不動點x₁，x₂．
①當(dāng)-2＜x₁＜0＜x₂＜1時，求|3a+b-3|的取值范圍；
②若|x₁|＜2且|x₁-x₂|=2，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）=x²-x-3=x，即x²-2x-3=0，解方程f，得答案；
（2）g（x）=f （x）-x=x²+（a-1）x+b，
①由x₁，x₂是方程f （x）=x的兩相異根，且-2＜x₁＜0＜x₂＜1，$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b+6＞0}\\{b＜0}\\{a+b＞0}\end{array}\right.$，即可求|3a+b-3|的取值范圍；
②若|x₁|＜2且|x₁-x₂|=2，由韋達(dá)定理構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）依題意：f（x）=x²-x-3=x，即x²-2x-3=0，
解得x=3或-1，即f（x）的不動點為3或-1； …（5分）
（2）①g（x）=f （x）-x=x²+（a-1）x+b，
由x₁，x₂是方程f （x）=x的兩相異根，且-2＜x₁＜0＜x₂＜1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b+6＞0}\\{b＜0}\\{a+b＞0}\end{array}\right.$，區(qū)域如圖所示． 

令t=3x+y-3，則經(jīng)過（0，0），t_min=-3，經(jīng)過（3，0），t_max=6，
∴|3a+b-3|的取值范圍是[0，6]…（9分）
②△=（a-1）²-4b＞0⇒（a-1）²＞4b，
x₁+x₂=1-a，x₁x₂=b，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（1-a）²-4b=2²，…（11分）
∴4b=（a-1）²-4（*）
又|x₁-x₂|=2，要使g（x）=0 有一根屬于 （-2，2），
則 g（x）對稱軸 x=$\frac{1-a}{2}$∈（-3，3），…（13分）
∴-5＜a＜7
由（*） 得-1≤b＜8，
∴b 的取值范圍是：[-1，+8）．…（15分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，韋達(dá)定理，是二次方程與二次函數(shù)，二次不等式的綜合應(yīng)用，難度較大．