Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左、右頂點(diǎn)分別為A，B．直線l₁：x=-2，直線l₂：y=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP與直線l₂交于點(diǎn)M，直線BP與直線l₁交于點(diǎn)N，求直線MN的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出a，b，c即可得出．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則${x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}=4$．可得k_AP•k_BP=-$\frac{1}{4}$．設(shè)k_AP=k，可得k_BP=-$\frac{1}{4k}$．直線AP的方程為：y=k（x+2），可得M$（\frac{2-2k}{k}，2）$；同理可得：N$（-2，\frac{1}{k}）$，即可得出k_MN．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則${x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}=4$．
k_AP•k_BP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$．
設(shè)k_AP=k，則k_BP=-$\frac{1}{4k}$．
直線AP的方程為：y=k（x+2），∴M$（\frac{2-2k}{k}，2）$．
直線BP的方程為：y=$-\frac{1}{4k}$（x-2），∴N$（-2，\frac{1}{k}）$．
∴k_MN=$\frac{2-\frac{1}{k}}{\frac{2-2k}{k}+2}$=k-$\frac{1}{2}$，
∵k＞0，
∴k_MN=k-$\frac{1}{2}$$＞-\frac{1}{2}$．
∴直線MN的斜率的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．