14.已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一非零根x1,方程-ax2+bx+c=0有一非零根x2
(1)令f(x)=$\frac{a}{2}$x2+bx+c,求證:f(x1)f(x2)<0
(2)證明:方程$\frac{a}{2}$x2+bx+c=0必有一根介于x1和x2之間.

分析 (1)由方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一非零根x1,方程-ax2+bx+c=0有一非零根x2,可得bx1+c=-$a{x}_{1}^{2}$,bx2+c=$a{x}_{2}^{2}$,代入f(x1)f(x2)=$-\frac{{3a}^{2}}{4}{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}$,即可證明.
(2)由(1)可得:f(x1)f(x2)<0.利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證明.

解答 證明:(1)∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一非零根x1,方程-ax2+bx+c=0有一非零根x2,
∴$a{x}_{1}^{2}$+bx1+c=0,$-a{x}_{2}^{2}$+bx2+c=0,
∴bx1+c=-$a{x}_{1}^{2}$,bx2+c=$a{x}_{2}^{2}$,
∴f(x1)f(x2)=$(\frac{a}{2}{x}_{1}^{2}+b{x}_{1}+c)$$(\frac{a}{2}{x}_{2}^{2}+b{x}_{2}+c)$
=$(\frac{a}{2}{x}_{1}^{2}-a{x}_{1}^{2})$$(\frac{a}{2}{x}_{2}^{2}+a{x}_{2}^{2})$
=$-\frac{{3a}^{2}}{4}{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}$<0.
∴f(x1)f(x2)<0.
(2)由(1)可得:f(x1)f(x2)<0.
∴方程$\frac{a}{2}$x2+bx+c=0必有一根介于x1和x2之間.

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)解、函數(shù)零點(diǎn)存在定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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C.向左平移π個(gè)單位,要把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍,縱坐標(biāo)不變
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