Question

對于函數(shù)f（x）=e^x定義域中的任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下結(jié)論：
（1）f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）；    
（2）f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）；
（3）

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0；       
 (4)

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；
（5）f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
上述結(jié)論中正確的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)f（x）=e^x的運算性質(zhì)，可以判定結(jié)論（1）錯誤，結(jié)論（2）正確；
又根據(jù)指數(shù)函數(shù)f（x）=e^x的圖象與性質(zhì)，可以判定結(jié)論（3）錯誤，結(jié)論（4）正確；
又根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值大于0，指數(shù)的運算性質(zhì)以及基本不等式，可以判定結(jié)論（5）正確．

解答： 解：∵對于函數(shù)f（x）=e^x定義域中的任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），
有f（x₁x₂）=ex1x2，f（x₁）+f（x₂）=ex1+ex2，
∴f（x₁x₂）≠f（x₁）+f（x₂），
∴結(jié)論（1）錯誤；
又f（x₁+x₂）=ex1+x2=ex1•ex2=f（x₁）f（x₂），
∴結(jié)論（2）正確；
又f（x）=e^x是定義域R上的增函數(shù)，
∴對任意的x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂），
∴x₁-x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴結(jié)論（3）錯誤，結(jié)論（4）正確；
又f（

x1+x2

2

）=e

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

ex1+ex2

2

；
∴

f(x1)+f(x2) 2

f( x1+x2 2 )

=

1

2

（

ex1

e x1+x2 2

+

ex2

e x1+x2 2

）
=

1

2

（e

x1

2

-

x2

2

+e

x2

2

-

x1

2

），
∵x₁≠x₂，
∴e

x1

2

-

x2

2

+e

x2

2

-

x1

2

＞2，
∴

f(x1)+f(x2) 2

f( x1+x2 2 )

＞1，
∴f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
∴結(jié)論（5）正確；
綜上，正確的結(jié)論是（2），（4），（5）；
故答案為：（2），（4），（5）．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)的運算性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些基礎(chǔ)知識并能靈活運用．