Question

下列命題：
①△ABC中，若A＜B，則cos2A＜cos2B；
②若A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，則

4

A

+

1

B+C

的最小值為

9

π

③已知a_n=sin

nπ

6

+

16

2+sin nπ 6

（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}中的最小項為

19

3

；
④若函數(shù)f（x）=log₂（x+1），且0＜a＜b＜c，則

f(a)

a

＜

f(b)

b

＜

f(c)

c

；
其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法,解三角形

分析：①△ABC中，由大角對大邊和正弦定理得出sinA＜sinB，再由三角恒等變換得出cos2A＞cos2B，判定①是否正確；
②△ABC中，由A+B+C=π得出

A+B+C

π

=1，求出

4

A

+

1

B+C

的最小值即可判定②是否正確；
③設f（x）=x+

16

2+x

，x∈[-1，1]，求出x=1時f（x）取得最小值

19

3

，判定數(shù)列{a_n}有最小項；得出③正確；
④畫出函數(shù)f （x）=log₂（x+1）的圖象，結(jié)合圖形以及

f(x)

x

的幾何意義，判定④是否正確．

解答： 解：對于①，△ABC中，A＜B時，a＜b，即sinA＜sinB，∴sin²A＜sin²B，∴1-2sin²A＞1-2sin²B，即cos2A＞cos2B，∴①錯誤；
對于②，△ABC中，A+B+C=π，∴

A+B+C

π

=1，∴

4

A

+

1

B+C

=（

4

A

+

1

B+C

）•

A+B+C

π

=

1

π

[4+1+

4(B+C)

A

+

A

B+C

]≥

1

π

[5+2

4(B+C) A • A B+C

]=

9

π

；
當且僅當A=2（B+C），即A=

2π

3

時，“=”成立，即取最小值

9

π

；∴②正確；
對于③，設f（x）=x+

16

2+x

，x∈[-1，1]，∴f′（x）=1-

16

(x+2)2

；當x∈[-1，1]時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；∴x=1，f（x）取得最小值1+

16

2+1

=

19

3

；
即sin

nπ

6

=1，n=3+12k（k∈N^*）時，數(shù)列{a_n}有最小項為

19

3

；∴③正確；
對于④，畫出函數(shù)f （x）=log₂（x+1）的圖象，如圖所示：
令g（x）=

f(x)

x

=

f(x)-0

x-0

，其幾何意義是f（x）圖象上的點（x，f（x））與原點連線的斜率，
由圖知函數(shù)g（x）為（-1，+∞）上的減函數(shù)，∵0＜a＜b＜c，∴

f(a)

a

＞

f(b)

b

＞

f(c)

c

；∴④錯誤；
綜上，以上正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了解三角形的知識，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換，數(shù)列的應用，基本不等式的應用，函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，是綜合性題目．