Question

13．不等式2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+4＞0對于任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是（-∞，4）．

Answer 1

分析 設(shè)t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$（t≥1），不等式2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+4＞0即為2t²-at+2＞0在t≥1恒成立，即有a＜2（t+$\frac{1}{t}$）的最小值，
運用基本不等式可得最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：設(shè)t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$（t≥1），不等式2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+4＞0即為
2t²-at+2＞0在t≥1恒成立，即有a＜2（t+$\frac{1}{t}$）的最小值，
由2（t+$\frac{1}{t}$）≥4$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=0時，取得最小值4，
即有a＜4．
故答案為：（-∞，4）．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用換元法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．