Question

4．若函數(shù)f（x），g（x）滿足${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=0，則稱f（x），g（x）為區(qū)間[-1，1]上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①f（x）=sinx，g（x）=cosx；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x²其中為區(qū)間[-1，1]的正交函數(shù)的組數(shù)是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 函數(shù)f（x），g（x）滿足${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=0，則y=f（x）g（x）為奇函數(shù)，判斷被積函數(shù)的奇偶性即可得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x），g（x）滿足${∫}_{-1}^{1}$f（x）g（x）dx=0，則y=f（x）g（x）為奇函數(shù)，
 對于①：f（x）=sinx，g（x）=cosx，∴y=sinx•cosx為奇函數(shù)，∴f（x），g（x）為區(qū)間[-1，1]上的一組正交函數(shù)；
對于②：（x）=x+1，g（x）=x-1，則y=（x+1）（x-1）=x²-1為偶函數(shù)，∴f（x），g（x）不是區(qū)間[-1，1]上的一組正交函數(shù)；
對于③：f（x）=x，g（x）=x²，∴y=x³，為奇函數(shù)，∴f（x），g（x）為區(qū)間[-1，1]上的一組正交函數(shù)，
∴正交函數(shù)有2組，
故選：C．

點評 本題考查新定義，考查微積分基本定理的運用，屬于基礎(chǔ)題．