Question

12．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，頂點分別為A₁，A₂，B₁，B₂，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，延長B₁F₂與A₂B₂交于P點，若∠B₁PA₂為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為$（\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 ${k}_{1}={k}_{{B}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}$，${k}_{2}={k}_{{A}_{2}{B}_{2}}$=-$\frac{a}$．由于∠B₁PA₂為鈍角，可得tan∠B₁PA₂=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$＜0，化簡整理即可得出．

解答 解：${k}_{1}={k}_{{B}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}$，${k}_{2}={k}_{{A}_{2}{B}_{2}}$=-$\frac{a}$．
∵∠B₁PA₂為鈍角，
∴tan∠B₁PA₂=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{-\frac{a}-\frac{c}}{1+（-\frac{a}）•\frac{c}}$＜0，
化為：ac-b²＜0，
∴c²+ac-a²＜0，
∴e²+e-1＜0，0＜e＜1，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜1．
則此橢圓的離心率的取值范圍為 $（\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，1）$．
故答案為：$（\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，1）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次不等式的解法、“到角公式”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．