Question

15．已知$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinx，\;m+cosx）$，$\overrightarrow b=（cosx，-m+cosx）$，且f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，當$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時，f（x）的最小值是-4，求此時函數(shù)f（x）的最大值-$\frac{5}{2}$，此時X=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 運用向量的數(shù)量積的坐標表示，以及二倍角公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最值．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-m²
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-m²
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$-m²，
由$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
即有x=-$\frac{π}{6}$時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
可得f（x）的最小值為-m²=-4，可得m=±2；
x=$\frac{π}{6}$時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，
即有f（x）取得最大值1+$\frac{1}{2}$-4=-$\frac{5}{2}$，
故答案為：-$\frac{5}{2}$，$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查正弦函數(shù)的值域的求法，注意運用二倍角公式和輔助角公式，考查運算能力，屬于中檔題．